Стереометрическая задача

Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел.

1

Около шара описана правильная усечённая четырёхугольная пирамида, у которой площадь одного основания в 9 раз больше площади другого.

а) Докажите, что боковыми гранями усечённой пирамиды являются трапеции, высоты которых равны среднему арифметическому сторон оснований.

б) Найдите угол наклона боковой грани к плоскости основания.

2

В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ через центр основания треугольника АВС и центры симметрий боковых граней АА₁В₁В и BB₁С₁C проведена плоскость, которая составляет с плоскостью основания 30°.

а) Постройте сечение, образованное этой плоскостью.

б) Найдите площадь этого сечения, если сторона основания равна 6.

3

На ребре AD единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка К, АК : AD = 1 : 2.

а) Постройте сечение этого куба плоскостью, проходящей через точку К параллельно прямым C₁D и B₁D₁.

б) Найдите площадь этого сечения.

4

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Через точки B, D₁, F₁ проведена плоскость α.

а) Докажите, что плоскость α пересекает ребро CC₁в такой точке М, что MC:MC₁=1:2.

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые данную призму делит плоскость α.

5

В треугольной пирамиде FABC основанием является правильный треугольник АВС, ребро FB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 6, а ребро FA равно 10. На ребре АС находится точка К, на ребре АВ — точка N, а на ребре AF — точка L. Известно, что FL = 4 и СК = BN = 2.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки К, N и L

б) Найдите площадь этого сечения

6

В прямой призме АВСА₁В₁С₁ в основании лежит треугольник АВС со сторонами АВ = АС = 16, ВС = 10. Боковое ребро равно √33.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через прямую А₁В и перпендикулярную плоскости СС₁В₁

б) Найдите косинус угла между А₁В и плоскостью боковой грани СС₁В₁В.

7

В основание цилиндра высотой 60 и радиусом основания 15 вписан остроугольный треугольник АВС, в котором ВС = 10, АВ = АС.

а) Постройте сечение призмы АВСА₁В₁С плоскостью, проходящей через точку А и перпендикулярную плоскостям СВВ₁и ВА₁С, если АА₁, ВВ₁и СС₁ — образующие цилиндра.

б) Найдите величину угла между плоскостями СВВ₁ и ВА₁С.

8

В правильную четырёхугольную пирамиду, высота которой равна √119, а боковое ребро — 13, вписан шар, который касается всех граней пирамиды. Найдите площадь поверхности шара.

9

Радиус основания конуса с вершиной Р равен 8, а длина его образующей равна 12. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 2 : 4.

а) Найдите площадь сечения конуса плоскостью РАВ.

б) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точку Р перпендикулярно основанию конуса и плоскости АВР.

10

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. На ребре АА₁ отмечена точка М так, что А₁М : АМ = 1:3. Через точки М и В₁ параллельно АD₁ проведена плоскость Ω.

а) Докажите, что плоскость Ω проходит через вершину F₁.

б) Найдите расстояние от точки А до плоскости Ω, если АВ=2, АА1₌4.