Стереометрическая задача

Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел.

1

В прямой призме АВСА₁В₁С₁ в основании лежит треугольник АВС со сторонами АВ = АС = 16, ВС = 10. Боковое ребро равно √33.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через прямую А₁В и перпендикулярную плоскости СС₁В₁

б) Найдите косинус угла между А₁В и плоскостью боковой грани СС₁В₁В.

2

Радиус основания конуса с вершиной Р равен 8, а длина его образующей равна 12. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 2 : 4.

а) Найдите площадь сечения конуса плоскостью РАВ.

б) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точку Р перпендикулярно основанию конуса и плоскости АВР.

3

В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник АВС гипотенузой АВ, причем АВ=АА₁. Через точку В₁ перпендикулярно СА₁ проведена плоскость α.

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является прямоугольный треугольник.

б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее делит плоскость α, если известно, что АС=8, ВС=6.

4

Дана правильная четырёхугольная пирамида, сторона основания которой равна 18, а высота равна 24.

а) Постройте сечение, проходящее через две противоположные вершины основания и перпендикулярное одному из боковых рёбер.

б) Найдите косинус угла между смежными боковыми гранями.

5

На ребре AD единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка К, АК : AD = 1 : 2.

а) Постройте сечение этого куба плоскостью, проходящей через точку К параллельно прямым C₁D и B₁D₁.

б) Найдите площадь этого сечения.

6

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью a, содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями a и BCC₁, если AA₁=6, AB=4.

7

Высота усечённого конуса равна $\sqrt3$ . Прямоугольный треугольник АВС с углом А, равным 60°, и углом С, равным 90°, расположен так, что вершина А лежит на окружности нижнего основания, а вершины В и С — на окружности верхнего основания. Найдите АВ, если угол между плоскостью АВС и плоскостью основания усечённого конуса равен 60°.

8

В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ через центр основания треугольника АВС и центры симметрий боковых граней АА₁В₁В и BB₁С₁C проведена плоскость, которая составляет с плоскостью основания 30°.

а) Постройте сечение, образованное этой плоскостью.

б) Найдите площадь этого сечения, если сторона основания равна 6.

9

Высота усеченного конуса равна $\frac{\sqrt3}2$ . Прямоугольный треугольник АВС с катетом ВС, равным 3, и углом А, равным 60°, расположен так, что вершина А лежит на окружности нижнего основания, а вершины В и С — на окружности верхнего основания. Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью основания усечённого конуса.

10

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. На ребре АА₁ отмечена точка М так, что А₁М : АМ = 1:3. Через точки М и В₁ параллельно АD₁ проведена плоскость Ω.

а) Докажите, что плоскость Ω проходит через вершину F₁.

б) Найдите расстояние от точки А до плоскости Ω, если АВ=2, АА1₌4.