Сделаем чертеж

Точка $L$ выбрана так, что $KL\parallel B_1D_1$, точка $M$ такова, что $LM\parallel C_1D,$ и так далее. Тогда сечением является шестиугольник $KLMNPQ$, причем $AK=AL=B_1M=C_1N=C_1P=DQ=\frac12.$ По теореме Пифагора находим $KL=NP=LM=MN=PQ=KQ=\frac{\sqrt2}2.$ $\angle MNP=\angle NPQ=\angle PQK=\angle QKL=\angle KLM=\angle LMN$

Шестиугольник $KLMNPQ\;$ - правильный, поэтому $S_{KLMNPQ}\;=6\times\frac{KL^2\sqrt3}4=\frac{3\sqrt3}4$

Ответ: $\frac{3\sqrt3}4$.