Числа и их свойства

Может ли сумма четырех попарно различных дробей вида $\frac1n$ (где n∈N, n>1)

а) равняться 1,3;

б) равняться 1,001;

в) принимать значение из интервала $\left(\frac1{11};\;\frac1{10}\right)$?

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Ежедневно в зоопарке каждой лисе полагается 2 кг мяса, тигру — 14 кг, льву — 21 кг. Известно, что у каждого льва бывает ежедневно 230 посетителей, у каждой лисы — 20, у каждого тигра — 160 и все эти звери есть в зоопарке.

а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в зоопарке распределяют 70 кг мяса?

б) Может ли ежедневно распределяться 420 кг мяса, если известно, что посещений за 1 день было меньше 4000?

в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений у этих зверей, если зоопарк ежедневно распределяет между ними 111 кг мяса?

Можно ли n попарно различных натуральных чисел расположить по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел являлась точным квадратом, если

а) n = 3;

б) n = 4;

в) n = 5?

На 22 карточках написаны натуральные числа от 1 до 22.

A) Из этих карточек взяли две (с числами а и b) и составили неправильную дробь $\frac ab$. Какое наименьшее число могло получиться?

Б) Из этих карточек составили 11 дробей. Могла ли их сумма иметь целое значение?

B) Из этих карточек составили 11 дробей. Какое наибольшее число этих дробей могли иметь целое значение?

Известно, что a, b, c, d – попарно различные натуральные числа, большие 1.

А) Может ли выполняться равенство $\frac1a+\frac1b=\frac1c+\frac1d?$

Б) Может ли выполняться равенство $\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d=1,26?$

В) Найдите наименьшее и наибольшее значение суммы $S=\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d$, если известно, что 1,2<S<1,3

На n деревьях, расположенных по окружности, сидели n весёлых чижей (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один по часовой стрелке, другой — против). Могут ли все n чижей собраться на одном дереве, если

а) n = 3?

б) n = 2015?

в) n = 10?

На доске выписана последовательность a₁, a₂, ... a₁₀₁₀, при этом а₁ = 3.

В каждом из следующих случаев определите а₁₀₀₀

а) Для любого натурального к среднее арифметическое первых к членов последовательности равно 3.

б) Для любого натурального к ≥ 2 среднее арифметическое первых к членов последовательности на 1 больше среднего арифметического первых (к — 1) членов последовательности.

в) Для всех нечётных натуральных к среднее арифметические первых k членов последовательности равны между собой и на 1 меньше средних арифметических первых 2m членов последовательность для любого натурального m.

Ежедневно в зоопарке каждой лисе полагается 2 кг мяса, тигру — 14 кг, льву — 21 кг. Известно, что у каждого льва бывает ежедневно 230 посетителей, у каждой лисы — 20, у каждого тигра — 160 и все эти звери есть в зоопарке.

а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в зоопарке распределяют 70 кг мяса?

б) Может ли ежедневно распределяться 420 кг мяса, если известно, что посещений за 1 день было меньше 4000?

в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений у этих зверей, если зоопарк ежедневно распределяет между ними 111 кг мяса?

Натуральное число называется палиндромом, если при расстановке его цифр в обратном порядке оно не изменяется (например, 8, 22, 171 и т.п.).

а) Сколько существует шестизначных палиндромов, каждая цифра в которых встречается не больше двух раз?

б) Существует ли пара натуральных чисел (а;b), таких, что никакая натуральная степень числа а не является палиндромом, а любая степень числа b является?

в) Сколько существует упорядоченных пар (х; у), где х,у — двузначные палиндромы, х≠y, x + у — палиндром, причём нечётный?