Задание № 8231
На доске выписана последовательность а1, а2, ... , а500, при этом а1 = 7.
В каждом из следующих случаев определите а500
а) Для любого натурального m среднее геометрическое первых m членов последовательности равно 7.
б) Для любого натурального m среднее арифметическое первых m членов последовательности на 3 меньше среднего арифметического первых (m — 1) членов последовательности.
в) Для всех нечётных натуральных m средние арифметические первых m членов последовательности равны между собой и на 3 меньше средних арифметических первых 2k членов последовательность для любого натурального k.
Решение:
а) Покажем, что все ak=7. Действительно, √a1a2=7;a2=49a1;, 3√a1a2a3=7;a1a2a3=73;a3=73a1a2
Если a1=a2=...=an=7 и n√a1a2...an=7, то an+1=7n+1a1a2...a3. Значит a500=7.
б) пусть среднее арифметическое первых (m-1) чисел равно xm−1. Тогда сумма первых m-1 чисел равна (m−1)xm−1, откуда xm=am+(m−1)xm−1m. С другой стороны, по условию xm=xm−1−3, откуда am+(m−1)xm−1m=xm−1−3;am=xm−1−3m
Учитывая, что xm образуют арифметическую прогрессию с разностью -3, получим xm=7−3(m−1)=10−3m; xm−1=10−3(m−1)=13−3m; am=13−6m, значит a500=13−6×500=−2987.
в) Для любого нечетного числа m среднее арифметическое первых m чисел равно 7, так как при k=1 среднее арифметическое равно 3. Для четных m среднее арифметическое равно 10. Тогда для четных m выполняется равенство 7(m−1)+amm=10;am=3m+7, a500=1507.
Ответ: а) 7 б) -2987 в) 1507
Нашли ошибку в задании? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl + Enter.