Решение: а) Покажем, что все $a_k=3.$ Действительно: $\frac{a_1+a_2}2=3;$ $a_2=2\times3-a_1=3;$ $\frac{a_1+a_2+a_3}3=3$; $a_3=3\times3-a_1-a_2=3;\;...$

Если $a_1=a_2=...=a_n=3$ и $\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{n+1}}{n+1}=3$, то $a_{n+1}=3(n+1)-a_1-a_2-...-a_n=3(n+1)-3n=3$. Значит, $a_{1000}=3$.

б) Пусть среднее арифметическое первых n чисел равно $x_n$. Тогда сумма первых n чисел равна $nx_n$, откуда $x_{n+1}=\frac{nx+a_{n+1}}{n+1}.$ С другой стороны, по условию $x_{n+1}=x_n+1$, откуда $x_n+1=\frac{nx+a_{n+1}}{n+1}$ и $a_{n+1}=n+x_n+1$.

Учитывая, что $x_n$ образуют арифметическую прогрессию с разностью 1, получим $x_n=3+(n-1)=n+2$ и $a_{n+1}=2n+3=2(n+1)+1$, значит, $a_n=2n+1$ и $a_{1000}=2001;$

в) Для любого нечетного $k$ среднее арифметическое первых $k$ чисел равно 3, так как при $k=1$ среднее арифметическое равно 3. Для четных $k$ среднее арифметическое равно 4. Тогда для четных $k$ $\frac{3(k-1)+a_k}k=4$. $a_k=k+3;\;a_{1000}=1003$

Ответ: а) 3 б) 2001 в) 1003