Экономические задачи

Биссектриса тупого угла А трапеции ABCD пересекает сторону ВС трапеции в точке Т, а продолжение стороны CD в точке К так, что ABTD — параллелограмм и КС : CD = 2 : 3.

а) Докажите, что АТ $\perp$ BD.

б) Найдите периметр трапеции ABCD, если её боковая сторона АВ равна 15, а угол В трапеции равен 45°.

Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается основания АС в точке М. Вторая окружность касается основания АС и продолжений боковых сторон.

А) Докажите, что длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.

Б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен 3, а ВМ=8.

Радиусы двух окружностей с центрами О₁ и О₂, касающихся внутренним образом в точке А, равны 5 и 4 соответственно. Их общая секущая, проведённая через точку А, пересекает первую окружность в точке В, вторую — в точке С.

а) Докажите, что $\frac{AB}{AO_1}=\frac{BC}{O_1O_2}$.

б) Найдите длину касательной, проведённой из точки В ко второй окружности, если дополнительно известно, что АВ = 1.

К окружности с центром О проведены три касательные ,две из которых АС и BD-параллельны А и В -точки касания. Третья касательная пересекает их в точках C и D соответственно, а также касается окружности в точке F.


а) Докажите ,что произведение отрезков касательных ,отсекаемых третьей касательной на двух параллельных касательных ,равно квадрату радиуса т.е. AC ∗ BD = AO²

б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BD=12, 
∠BDF=120°

На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС лежат точки М, Р и R соответственно, причём отрезки BR, СМ и АР пересекаются в точке О.

а) Докажите, что $\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CR}{RA}=1.$

б) Найдите длину стороны АВ, если ВС = 10, АС = 13, ВМ : ВР = 3 : 2, CR = 9.

Равнобедренный треугольник АВС вписан в окружность радиуса R, ∠АВС = α. Параллельно основанию АС проведена средняя линия, продолженная до пересечения с окружностью в точках М и N.

а) Докажите, что $AB=2R\cos\frac\alpha2$

б) Найдите отношение площади треугольника MBN к площади треугольника АВС, если ∠АВС = 60°

В треугольнике MNP высота PQ и медиана PL делят угол MPN на три равных угла. Площадь треугольника MNP равна 6 + 4√3.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

б) Найдите радиус вписанной в треугольник MNP окружности.

В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон ВС, AC и AB соответственно, AH — высота, $\angle BAC=60^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$.

а) Докажите, что точки A₁, B₁, C₁ и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A₁H, если $BC=2\sqrt3$

Внутри прямого угла АОВ проведён луч ОС. В угол ВОС вписана окружность, касающаяся лучей ОВ и ОС в точках В и С соответственно, в угол АОС вписана окружность, касающаяся лучей ОА и ОС в точках А и С соответственно. Радиус одной из этих окружностей в 3 раза больше радиуса другой.

а) Докажите, что если Р и Q — центры этих окружностей, то ∠POQ = 45°.

б) Найдите косинус меньшего из углов АОС и ВОС.

Равнобедренный треугольник АВС вписан в окружность радиуса R, $\angle ABC=\alpha$. Параллельно основанию АС проведена средняя линия, продолженная до пересечения с окружностью в точках P и K.

а) Докажите, что высота ВН треугольника АВС $BH=2R\cos^2\frac\alpha2$

б) Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника КВР, если $\angle ABC=120^\circ$.