Решение:

а) Доказать, что $\begin{array}{l}AC\times BD=AO^{2\;}\\\end{array}$ (см. рисунок)

$\begin{array}{l}ABCD\;\\\end{array}$ - прямоугольная трапеция, так как$\begin{array}{l}AB\perp AC,\;AB\perp BD.\\\end{array}$

$\begin{array}{l}CO\\\end{array}$ - биссектриса $\begin{array}{l}\angle ACF\\\end{array}$

$\begin{array}{l}DO\\\end{array}$ - биссектриса $\begin{array}{l}\angle BDF\\\end{array}$

Тогда $\angle COD=90^\circ$, на основании теоремы о биссектрисах внутренних односторонних углов при параллельных прямых $AC\parallel BD$ и секущей $CD$. $OF\perp CD$. Высота $OF$, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, то есть $OF^2=CF\times FD$. $OF=OA$ (как радиусы), $CF=AC$, $FD=BD$ (как отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки).

$OA^2=AC\times BD$, что и требовалось доказать.

$S_{ABDC}=\frac12(AC+BD)\times AB.$. В силу того, что $AB=2AO,$$AC=BD=CF+FD=CD$, получаем $S_{ABDC}=AO\times CD$

$\bigtriangleup BOD$: $\angle OBD=90^\circ;$$\angle ODB=60^\circ;$$OB=12tg60^\circ=12\sqrt3$

$\bigtriangleup AOC:$$\angle OAC=90^\circ$$\angle OCA=30^\circ$

$AC=OA\times ctg(30^\circ)=12\sqrt3\sqrt3=36$

$CF=AC=36,\;FD=BD=12$ $CD=36+12=48$

$S_{ABDC}=12\sqrt3\times48=576\sqrt3$

Ответ: $576\sqrt3$