Демонстрационный вариант

а) Запишем исходное уравнение в виде:

$\sin x+\sqrt3\cos x+1-2\sin^2x=\sqrt3\cos x+1;{}\\\sin x-2\sin^2x=0;{}\\\sin x\cdot(2\sin^2x-1)=0$

Значит, $\sin x=0$, откуда $x=\pi k,\;k\ni Z$, или $\sin x=\frac12$, откуда $x=\frac\pi6+2\pi n,\;n\in Z$ или $x=\frac{5\pi}6+2\pi m,\;m\in Z$.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;-\frac{3\pi}2\right]$

Получим числа: $-3\pi;-2\pi;-\frac{11\pi}6$

Ответ: a) $\pi k,\;k\in Z;\;\frac\pi6+2\pi n,\;n\in Z;$

$\frac{5\pi}6+2\pi m,\;m\in Z;$

b) $-3\pi;\;-2\pi;\;-\frac{11\pi}6.$

а) Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны, поскольку катет AD общий, a AB = AC. Значит, BD = CD. б) Найдём боковые рёбра. Треугольник BCD - равнобедренный и прямоугольный, поэтому $BD=CD=\frac{BC}{\sqrt2}=5$. Аналогично, AD=5. Найдём стороны треугольника MNB: $MB=NB=\sqrt{ND^2\;+\;DB^2}=\sqrt{29}.{}\\MN=\sqrt{MD^2\;+\;DN^2}=2\sqrt2$ Площадь равнобедренного треугольника MNB равна ${}\frac12\cdot MN\cdot\sqrt{MB^2\;-\;\frac{MN}2^2}=3\sqrt6$ Ответ: б) $3\sqrt6$

Правая часть неравенства определена при $x-\frac{35}8$

Поскольку при любых значениях x выражение $8x^2+7$ принимает положительные значения, при $x-\frac{35}8$ неравенство принимает вид:

$\frac{8x^2+7}{x^2+x+1}\geq\frac{8x+35}{x+5};\;\frac{8x^3+40x^2+7x+35}{(x+5)(x^2+x+1)}\geq\frac{8x^3+43x^2+43x+35}{(x+5)(x^2+x+1)};{}\\\frac{3x^2+36x}{(x+5)(x^2+x+1)}\leq0;\;\frac{3x(x+12)}{(x+5)(x^2+x+1)}\leq0$

откуда $x\leq-12;\;-5<x\leq0$. Учитывая ограничения $x-\frac{35}8$, получаем: $x\leq-12;\;-\frac{35}8<x\leq0$,

Ответ: $(-\infty;-12\rbrack\;;\;(-\frac{35}8;0\rbrack$,

По условию долг (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:

800; 680; 560; 440; 320; 200; 160; 120; 80; 40; 0.

Пусть $k=1+\frac r{100}$. Тогда последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по 100 состоянию на январь такова:

800k; 680k; 560k; 440k; 320k; 200k; 160k; 120k; 80k; 40k.

Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:

800k - 680; 680k - 560; 560k - 440; 440k - 320; 320k - 200;

200k - 160; 160k - 120; 120k - 80; 80k - 40; 40k.

Значит, сумма всех платежей (в тыс. рублей) будет составлять:

5(560k - 440) +5(120k - 80) = 3400k - 2600.

Получаем: 3400k - 2600 =1480, откуда k = 1,2 и r = 20.

Ответ: 20.

a) Обозначим центры окружностей $O_1\;и\;O_2$ соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке К, пересекает АВ в точке М. По свойству касательных, проведённых из одной точки, АM = KM и КМ = ВМ. Треугольник АКВ, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный.

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD $\perp$ AB. Аналогично получаем, что BC $\perp$ AB. Следовательно, прямые AD и ВС параллельны.

б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4, а вторая - радиус 1.

Треугольники BKC и AKD подобны, $\frac{AD}{BC}=4$. Пусть $S_{BKS}=S$, тогда $S_{AKD}=16S$

У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, $\frac{S_{AKD}}{S_{AKB}}=\frac{DK}{KB}=\frac{AD}{BC}$, т.е. $S_{AKB}=4S$. Аналогично $S_{CKD}=4S$. Площадь трапеции ABCD равна 25S. Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к AD перпендикуляр $O_2H$, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника $O_2HO_1$ :

$O_2H=\sqrt{O_1{O^2}_2-O_1H^2}=4$

Тогда $S_{ABCD}=\frac{AD+BC}2\cdot AB=20$

Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и $S_{AKB}=4S=3.$

Ответ: 3,2.

Если $x\geq0$, то уравнение $\left(\left|x\right|-5\right)^2+\left(y-4\right)^2=9$ задаёт окружность $\omega_1$ с центром в точке $C_1$(5; 4) радиусом 3, а если $x<0$, то оно задаёт окружность $\omega_2$ с центром в точке $C_2$(-5, 4) таким же радиусом (см. рисунок).

При положительных значениях а уравнение $\left(x+2\right)^2+y^2=a^2$ задаёт окружность $\omega$ с центром в точке С(-2; 0) радиусом а. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения а, при каждом из которых окружность $\omega$ имеет единственную общую точку с объединением окружностей $\omega_1\;и\;\omega_2$.

Из точки С проведём луч $CC_1$ и обозначим через $A_1$ и $B_1$ точки его пересечения с окружностью $\omega_1$, где $A_1$ лежит между С и $C_1$. Так как

$CC_1=\sqrt{(5+2)^2\;+4^2}=65^2,\;то\;CA_1=\sqrt{65}\;-{},\;CB_1\;=\sqrt{65}+{}.$

При $аСВ_1$, окружности $\omega\;и\;\omega_1$ не пересекаются.

При $СА_1<а<СВ_1$ окружности $\omega\;и\;\omega_1$ имеют две общие точки.

При $а=СА_1\;или\;а=СВ_1$, окружности $\omega\;и\;\omega_1$ касаются.

Из точки С проведём луч $CC_2$ и обозначим через $А_2\;и\;В_2$ точки его пересечения с окружностью $\omega_2$, где $A_2$ лежит между $С\;и\;С_2$. Так как

$CC_2=\sqrt{(-5+2)^2+4^2}={},\;то\;CA_2=5-3={},\;CB_2=5+3={}.$

При $аСВ_2$, окружности $\omega\;и\;\omega_2$, не пересекаются.

При $СА_2<а<\;СВ_2$ окружности $\omega\;и\;\omega_2$, имеют две общие точки.

При $а\;=СА_2\;или\;а=СВ_2$ окружности $\omega\;и\;\omega_2$, касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность $\omega$ касается ровно одной из двух окружностей $\omega_1\;и\;\omega_2$ и не пересекается с другой. Так как $СА_2<СА_1<СВ_2<СВ_1$ , то условию задачи удовлетворяют только числа $а=2\;и\;а=\sqrt{65}+3$.

Ответ: $2\;;\;\sqrt{65}+3$

а) Из пары (100;1) за один ход получается пара (101; 99), за два хода получается пара (200; 2), за три хода получается пара (202;198), а за четыре хода получается пара (400; 4).

б) Заметим, что за один ход из пары (a;b) получается пара (а+b;а-b), а за два хода получается пара (2a; 2b). Следовательно, из пары (100;1) можно получить только пары $\left(2^k\cdot100;\;2^k\right)\;и\;\left(2^k\cdot101;\;2^k\cdot99\right)$, где k - неотрицательное целое число. Число 806 не равно $2^k\cdot100\;и\;2^k\cdot101$, а значит, пару (806; 788) невозможно получить за несколько ходов из пары (100;1).

b) Заметим, что пару (c;d) за один ход можно получить только из пары $\left(\frac{c+d}2;\frac{c-d}2\right)$ при условии, что числа с и d одной чётности.

Таким образом, пара (806; 788) получается из пары (797;9), которая получается из пары (403; 394). Пару (403; 394) невозможно получить за один ход ни из какой пары, поскольку числа 403 и 394 имеют разную чётность. Следовательно, наименьшее число а в паре (a;b), из которой занесколько ходов можно получить пару (806; 788), равно 403.

Ответ: а) да; б) нет; в) 403.