Вариант 3

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

При оплате услуг через платёжный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Пётр Агафонович хочет положить на счёт своего мобильного устройства не меньше 500 рублей. Какую минимальную сумму он должен положить в приёмное устройство данного терминала?

В ходе химической реакции количество исходного вещества (реагента), которое ещё не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке 105 эта зависимость представлена графиком. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат — масса оставшегося реагента, который ещё не вступил в реакцию (в килограммах). Определите по графику, сколько килограммов реагента вступило в реакцию за первые четыре минуты.

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 72, средняя линия равна 14. Найдите боковую сторону трапеции.

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,7°, равна 0,62. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,7° или выше.

Найдите корень уравнения $\log_\frac17(5-x)=-2$

В тупоугольном треугольнике KLM KL = LM = 18, КН — высота, LH = 9. Найдите cos ∠KLM.

Прямая у = 24х + 5 является касательной к графику функции у = 32х² + bх + 7. Найдите значение b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Сосуд в виде правильной треугольной пирамиды высотой 25√3 см до верха заполнен водой. Найдите, на какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму куба со стороной, равной стороне основания данной треугольной пирамиды. Ответ выразите в сантиметрах.

Найдите 45а - 19b + 40, если $\frac{3a-5b+7}{8a-4b+7}=6$ .

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле $A\left(\omega\right)=\frac{A_0\omega_p^2}{\vert\omega_p^2-\omega^2\vert}$ , где $\omega$ — частота вынуждающей силы (в с^-1), А₀ — постоянный параметр, $\omega_p$ = 350 c^-1 — резонансная частота. Найдите максимальную частоту $\omega$ (в с^-1), меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину А₀ не более чем на $\frac{A_0}{24}$ . Ответ выразите в с^-1.

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 15 кругов по кольцевой трассе с протяженностью круга 9,6 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришел раньше второго на 12 мин. Чему равнялась скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 1 час 12 мин? Ответ дайте в км/ч.

Найдите точку максимума функции у = (х — 6)²(х + 9) + 3.

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

а) Решите уравнение $\sin3x=2\cos\left(\frac{\mathrm\pi}2-x\right)$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-3π/2; 0].

Показать ответ

Решение:

$\sin3x=3\sin x-4\sin^3x$

$\begin{array}{l}3\sin x-4\sin^3x=2\sin x\\4\sin^3x-\sin x=0\\\sin x(4\sin^2x-1)=0\\\sin x=0;\;x=\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}\\\mathrm{sinx}=\pm\frac12;\;\mathrm x=\pm\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z}\end{array}$

С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие указанному промежутку:

Ответ: а) $\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};$

$\pm\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z};$

б) $-\frac{7\mathrm\pi}6,\;-\mathrm\pi,\;-\frac{5\mathrm\pi}6,\;-\frac{\mathrm\pi}6,\;0$

Около шара описана правильная усечённая четырёхугольная пирамида, у которой площадь одного основания в 9 раз больше площади другого.

а) Докажите, что боковыми гранями усечённой пирамиды являются трапеции, высоты которых равны среднему арифметическому сторон оснований.

б) Найдите угол наклона боковой грани к плоскости основания.

Показать ответ

Решение:

а) Рассмотрим усеченную четырехугольную пирамиду $ABCDA_1B_1C_1D_1$ , Описанную около шара (см. рисунок) Пусть $A_1B_1C_1D_1$ - квадрат со стороной а, $ABCD$ - квадрат со стороной b. По условию $S_{ABCD}=9S_{A_1B_1C_1D_1}$ , $b^2=9a^2$ следовательно $b=3a$ .

Пусть $M$ - середина $AB$ , $N$ - середина $CD$ . Проведем прямую $MN$ сечение, перпендикулярное плоскости основания. Пусть $KP$ - отрезок, по которому плоскость сечения пересекается с верхним основанием, $KP\parallel MN$ , $K$ - середина $A_1B_1$ , $P$ - середина $C_1D_1$ . Трапеция $KPMN$ описана около круга, образованного сечением шара рассматриваемой плоскостью. Тогда $KP+MN=MK+PN=4a$ , $MK=PN=2a$ . C другой стороны, $PN$ - высота трапеции $DD_1C_1C$ и $PN=2a=\frac{3a+a}2=\frac{CD+C_1D_1}2$ , что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим трапецию $MKPN$ (см. рисунок)

$MN\perp CD$ , $PN\perp CD$ , поэтому $\angle PNM$ - линейный угол искомого двугранного угла

$HN=\frac{MN-KP}2=\frac{3a-a}2=a$

$\cos\angle PNH=\frac{HN}{PN}=\frac a{2a}=\frac12$

$\angle PNH=\frac{\mathrm\pi}3$

Ответ: $\frac{\mathrm\pi}3$

Решите систему неравенств $\left\{\begin{array}{l}4^x-2^{2(x-1)}+8^{\frac23(x-2)}>52,\\2\log_\frac12(x-2)-\log_\frac12(x^2-x-2)\geq1.\end{array}\right.$

Показать ответ

Решение:

1) $4^x-2^{2(x-1)}+8^{\frac23(x-2)}>52$

$2^{2(x-1)}=4^{x-1}=\frac{4^x}4;$ $8^{\frac23(x-2)}=4^{x-2}=\frac{4^x}{16};$

$4^x-\frac{4^x}4+\frac{4^x}{16}>52,\frac{13}{16}4^x>52,\;x>3,\;x\in\left(3;+\infty\right)$

2) ОДЗ: $\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-2>0\\x^2-x-2>0\end{array}\right.x>2\\\end{array}$

$\begin{array}{l}\log_\frac12\frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-2)}\geq1\\\end{array}$ , $\begin{array}{l}\frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-2)}\leq\frac12\\\end{array}$ , $\begin{array}{l}\frac{(x-2)}{(x+1)}\leq\frac12\\\end{array}$ , $\begin{array}{l}\frac{(x-5)}{2(x+1)}\leq0\\\end{array}$ .

$\begin{array}{l}x\in(-1;5\;\rbrack\\\end{array}$ , с учетом ОДЗ $\begin{array}{l}x\in(2;5\;\rbrack\\\end{array}$

3) $\begin{array}{l}(2;5\;\rbrack\cap(3,+\infty)=\;(3;5\rbrack.\\\end{array}$

Ответ: $\begin{array}{l}x\in(3;5\rbrack.\\\end{array}$

В выпуклом четырёхугольнике ABCD на сторонах AD и CD взяты точки М и N, такие, что каждая из прямых СМ и AN делит ABCD на две фигуры равных площадей.

а) Докажите, что АС параллельно MN.

б) Найдите отношение площадей четырёхугольников ABCD и АВСО, где О — точка пересечения BD и MN.

Показать ответ

Решение:

Из условия следует, что $S_{AND}=S_{MCD}=\frac12S_{ABCD}$ (см. рисунок)

Но тогда для треугольников $AND$ и $MCD$ с общим углом $D$ имеем $\frac12AD\times ND\times\sin\angle D=\frac12MD\times CD\times\sin\angle D$ или $\frac{AD}{MD}=\frac{CD}{ND}$ . Следовательно, треугольники $MND$ и $ACD$ подобны по второму признаку подобия, из чего следует, что $AC\parallel MN$ .

б) Так как $AC\parallel MN$ , то точки $O$ и $N$ равноудалены от прямой $AC$ , а значит, высоты треугольников $AOC$ и $ANC$ равны, поэтому их площади также равны. Следовательно, $S_{ANCB}=S_{ABC}+S_{AOC}=S_{ABCO}$ , но $S_{ANCB}$ по площади составляет половину от $S_{ABCD}$ , поэтому и $S_{ABCO}$ составляет половину от $S_{ABCD}$ по площади.

Ответ: 2:1

Незнайка несколько лет назад вложил деньги в акции некоторого предприятия. Ежегодно он получал прибыль по акциям сначала 9 1/11% в год, потом 37,5% в год и наконец 6 2/3% в год и сразу же вкладывал деньги в те же акции. Известно, что одинаковые процентные ставки были равное число лет, а в конце первоначальная сумма его вклада увеличилась на 156%. Определите срок хранения вклада.

Показать ответ

Решение:

Увеличение вклада на $9\frac1{11}\%$ увеличивает его в $(100+9\frac1{11})\div100$ раз, или в $\frac{12}{11}$ раза. Аналогично увеличение на $37,5\%$ увеличивает вклад в $\frac{550}{400}$ раза, увеличение на $6\frac23\%$ - в $\frac{16}{15}$ раза. Если каждая процентная ставка была $k$ лет, то вклад увеличился в $\left(\frac{12}{11}\times\frac{55}{40}\times\frac{16}{15}\right)^k$ раз, что по условию равно $\frac{100+156}{100}$ или $\frac{64}{25}$ раза.

$\left(\frac{12}{11}\times\frac{55}{40}\times\frac{16}{15}\right)^k=\frac{64}{25},\;\left(\frac85\right)^k=\frac{64}{25};\;k=2$

Всего вклад хранился $3\times2=6\;лет$

Ответ: 6 лет.

При каких значениях р > 0 уравнение $3\sqrt{2x+p}=1+3x$ имеет два различных корня?

Показать ответ

Решение:

Обозначим $y=\sqrt{2x+p}\geq0,\;$ тогда $x=\frac{y^2-p}2$ и уравнение примет вид $3y^2-6y+2=3p$

Построим графики $z=3y^2-6y+2,\;y\geq0$ и $z=3p$ (см. рисунок)

Находим абсциссу вершины параболы: $y_0=\frac6{2\times3}=1$ ; Ордината вершины параболы $z_0=z(1)=-1$ . Очевидно, что искомые $p$ должны удовлетворять условию $-1<3p\leq2$ , отсюда $-\frac13<p\leq\frac23$ , А с учетом условия задачи $0<p\leq\frac23$

Ответ: $0<p\leq\frac23$

Решите в целых числах уравнение 19х² + 28у² = 729.

Показать ответ

Решение:

Так как $(18x^2+27y^2)+(x^2+y^2)=729$ , то $x^2+y^2$ делится на 3, поэтому $x:3$ и $y:3$ .

Действительно, пусть $x^2+y^2=3m\;(m\in\mathbb{N})$ . Предположим, что $x$ не делится на 3. Тогда либо $x=3t+1$ , либо $x=3t+2\;(t\in\mathbb{Z})$ . В любом случае $x^2=3k+1\;(k\in\mathbb{Z})$ . Отсюда получаем: $3m=x^2+y^2=3k+1+y^2$

Поэтому $1+y^2$ делится на 3. Но согласно вышесказанному, $y^2=3s+1(s\in\mathbb{Z})$ . Получаем, что $3m=3(k+s)+2$ , что невозможно.

Пусть $x=3u,\;y=3v\;(u,v\in\mathbb{Z})$ , тогда $19u^2+28v^2=81$ . Повторяя рассуждения, получим, что $u=3a,\;v=3b\;(a,b\in\mathbb{Z})$ и $19a^2+28b^2=9$ . Это уравнение не имеет решения в целых числах, так как $19a^2+28b^2$ либо равно нулю, либо не меньше $19$ .

Ответ: решений нет

0 из 0

№	Ваш ответ	Ответ и решение	Первичный балл
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.