Вариант 5

$\frac x{1-x}\leq x-6$

$\frac x{1-x}-x+6\leq0$

$\frac{x-(x-6)(1-x)}{1-x}\leq0$

$\frac{x-(x-x^2-6+6x)}{x-1}\geq0$

$\frac{x^2-6x+6}{x-1}\geq0$

Разложим числитель на множители, для этого определим корни уравнения x²-6x+6=0

D=6²-4⋅6⋅1=12

$x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{12}}2=3\pm\sqrt3$

$\frac{(x-(3-\sqrt3))\cdot(x-(3+\sqrt3))}{x-1}\geq0$

Ответ: (1;3 -√3], [3+√3; ∞)

Пусть X км/ч скорость теплохода, а Y км/ч скорость реки. Тогда скорость вниз по течению реки (X+Y) км/ч, а вверх против течения - (X-Y) км/ч. При этом от пункта А до пункта В теплоход проехал (X+Y)⋅5 км, и от пункта В до пункта А (X-Y)⋅(8+20/60) км, а по условию расстояние между А и В 100 км. Составим и решим систему уравнений.

$\left(x+y\right)\cdot5=100$

$\left(x-y\right)\cdot8\frac13=100$

1) y=20-x

2) $\left(x-(20-x)\right)\cdot\frac{25}3=100$

2x-20=12

2x=32

x=16 км/ч скорость теплохода

Ответ: 16

Найдем область определения функции:

x²-5x+6≥0 и x-3≠0

(x-2)(x-3)≥0 и x≠3

xє(-∞;2]∪(3;+∞)

$y=\frac{\left(\sqrt{x^2-5x+6}\right)^2}{x-3}=\frac{x^2-5x+6}{x-3}=\frac{(x-3)(x-2)}{x-3}$

y=x-2 на области определения (-∞;2]∪(3;+∞)

Прямая y = a параллельна оси ОХ и не имеет с графиком ни одной общей точки при aє(0;1]

Ответ: (0;1]

В равнобедренной трапеции диагонали равны. Так как они перпендикулярны, то получаем два равнобедренных прямоугольных треугольника △EBC и △EAD, у которых известны гипотенузы. Катеты △EBC и △EAD в √2 раза меньше гипотенуз. Получаем

BE=CE=6√2

AE=DE=10√2

AC=BD=16√2

$S=\frac{AC\cdot BD}2sin(\angle AED)$

$S=\frac{16\sqrt2\cdot16\sqrt2}2sin(90^\circ)=256$

Ответ: 256

По теореме Пифагора в △NDB и △NDC:

CN²=CD²+ND²

BN²=BD²+ND²

BN²-CN²=BD²+ND²-(CD²+ND²)=BD²-CD²

В △ADB и △ADC:

AC²=CD²+AD²

AB²=BD²+AD²

AB²-AC²=BD²-CD²

Значит:

BN²-CN²=BD²-CD²=AB²-AC²

Конечно же через вершины А и В, и еще через точку пересечения медиан, и еще через середину ВС провести окружность весьма проблематично, чтобы потом еще и была касательная, градусной меры менее 30°. Значит проводим окружность только через точку К пересечения медиан, касающуюся середины ВС. Дополнительно проведем отрезок AD - являющийся в правильном треугольнике и высотой, и медианой, и биссектрисой, так что окружность касается середины ВС в точке D и центр окружности О лежит на AD. Касательная АЕ образует угол ∠BAE<∠BAD=1/2∠BAC=1/2•60°=30°.

AB=BC=AC=a

OD=OE=OK=R

Медиана правильного треугольника: $AD=\frac{\sqrt3}2a$

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины:

$AK=\frac23AD=\frac{\sqrt3}3a$

$KD=\frac13AD=\frac{\sqrt3}6a$

$OK=OD=\frac12KD=\frac{\sqrt3}{12}a=OE=R$

$AO=AK+OK=\frac{\sqrt3}3a+\frac{\sqrt3}{12}a=\frac{5\sqrt3}{12}a$

По теореме Пифагора в △AEO:

$AE=\sqrt{AO^2-OE^2}=\sqrt{\left(\frac{5\sqrt3}{12}\right)^2-\left(\frac{\sqrt3}{12}\right)^2}=\frac{\sqrt2}2a$

$sin\angle1=\frac{OE}{AO}=\frac{\frac{\sqrt3}{12}a}{\frac{5\sqrt3}{12}a}=\frac15$

$cos\angle1=\frac{AE}{AO}=\frac{\frac{\sqrt2}2a}{\frac{5\sqrt3}{12}a}=\frac{2\sqrt6}5$

$\angle1=arcsin\frac15=arccos\frac{2\sqrt6}5$

$\angle2=30^\circ-\angle1$

$sin\angle2=sin(30^\circ-\angle1)=sin30^\circ cos\angle1-cos30^\circ sin\angle1=\frac12\cdot\frac{2\sqrt6}5-\frac{\sqrt3}2\cdot\frac15=\frac{\sqrt6}5-\frac{\sqrt3}{10}$

$S_{\bigtriangleup ABE}=\frac12AE\cdot AB\cdot sin\angle2=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2a\cdot a\cdot\left(\frac{\sqrt6}5-\frac{\sqrt3}{10}\right)=\frac{\sqrt2}4\cdot\left(\frac{\sqrt6}5-\frac{\sqrt3}{10}\right)a^2=$

$=\frac{\sqrt2\left(2\sqrt6-\sqrt3\right)}{4\cdot10}a^2=\frac{\sqrt6(2\sqrt2-1)}{40}a^2$

$S_{BEOD}=S_{\bigtriangleup ABD}-S_{\bigtriangleup ABE}-S_{\bigtriangleup AEO}$

$S_{\bigtriangleup ABD}=\frac12AD\cdot BD=\frac12\cdot\frac{\sqrt3}2a\cdot\frac12a=\frac{\sqrt3}8a^2$

$S_{\bigtriangleup AEO}=\frac12AE\cdot OE=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2a\cdot\frac{\sqrt3}{12}a=\frac{\sqrt6}{48}a^2$

$S_{BEOD}=\frac{\sqrt3}8a^2-\frac{\sqrt2}4\left(\frac{\sqrt6}5-\frac{\sqrt3}{10}\right)a^2-\frac{\sqrt6}{48}a^2=$

$=\frac{\sqrt3}8a^2-\frac{\sqrt3}{10}a^2+\frac{\sqrt6}{40}a^2-\frac{\sqrt6}{48}a^2=\frac{30\sqrt3-24\sqrt3+6\sqrt6-5\sqrt6}{240}a^2=\frac{6\sqrt3+\sqrt6}{240}a^2=\frac{\sqrt3\left(6+\sqrt2\right)}{240}a^2$

$\frac{S_{\bigtriangleup ABE}}{S_{BEOD}}=\frac{\sqrt6\left(2\sqrt2-1\right)/40}{\sqrt3\left(6+\sqrt2\right)/240}=\frac{6\sqrt2\left(2\sqrt2-1\right)}{6+\sqrt2}=\frac{6\sqrt2\left(2\sqrt2-1\right)\left(6-\sqrt2\right)}{36-2}=\frac{3\sqrt2\left(12\sqrt2-4-6+\sqrt2\right)}{17}=\frac{3\sqrt2\left(13\sqrt2-10\right)}{17}=\frac{6\left(13-5\sqrt2\right)}{17}$

Ответ: 6(13-5√2)/17