Вариант 15
Математика Профильный уровень
Часть 1
Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.
В школе есть пятиместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 28 человек?
На графике показан процесс нагревания чайника. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента включения чайника, на оси ординат — температура чайника в градусах Цельсия. Определите по рисунку, за сколько минут чайник нагреется от 45°С до 90°С
На собеседовании при приёме на работу соискателю задают вопросы, касающиеся образования, опыта работы, полученных навыков и знаний, владения иностранными языками. Чтобы претендовать на должность руководителя отдела, соискатель должен набрать на собеседовании не менее 70 баллов по каждому из трёх блоков вопросов — образование, опыт работы и полученные знания и навыки. Чтобы претендовать на должность референта, нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх блоков вопросов — образование, полученные знания и навыки, владение иностранными языками. Вероятность того, что соискатель М. получит не менее 70 баллов по блоку «образование», равна 0,6, по блоку «опыт работы» — 0,8, по блоку «знания и навыки» — 0,7 и по блоку «иностранные языки» — 0,5. Найдите вероятность того, что соискатель М. будет принят хотя бы на одну из двух упомянутых должностей.
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10, а основание равно 8. Найдите радиус r вписанной окружности. В ответ запишите r √21.
На рисунке изображен график y= f`(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-4,5; 5). Найдите точку максимума функции f(x)
Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует углы 30°, 30°, 45° с плоскостями граней параллелепипеда. Объём параллелепипеда равен 27√2. Найдите длину диагонали.
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон pVk = const, где p — давление в газе в паскалях, V — объем газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (k = 4/3) из начального состояния, в котором const = 287500 Па ∗ m4, начинают сжимать. Какой наибольший объем V может занимать газ при давлениях p не ниже 4,6 ∗ 106 Па? Ответ выразите в кубических метрах.
Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 54 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
Часть 2.
При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.
а) Решите уравнение 2x+3−3x2+2x−6=3x2+2x−5−2x
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (0; 3].
Решение:
а) 2x+3+2x=3x2+2x−5+3x2+2x−62x(23+1)=3x2+2x−6(1+3)2x×9=3x2+2x−6×42x−2=3(x−2)(x+4)
Прологарифмируем обе части уравнения при основании, равном 2.
log22x−2=log23(x−2)(x+4)(x−2)log22=(x−2)(x+4)log23(x−2)(1−(x+4)log23)=0x=2;x=log32−4
б) 2∈(0;3] 0<log32;log32−4∉(0;3]
Ответ: а) 2; log32−4 б) 2.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S расстояние между прямыми BD и AS равно 2.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки А и S перпендикулярно прямой BD.
б) Найдите объём данной пирамиды, если её боковое ребро равно 5.
Решение:
а) Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому AC⊥BD (см. рисунок) С другой стороны, так как пирамида правильная вершина S проецируется в центр основания, поэтому основание высоты и точка пересечения диагоналей квадрата ABCD совпадают. Обозначим эту точку O, плоскость (SAO)⊥BD, так как содержит 2 пересекающиеся прямые, перпендикулярные BD. Сечение плоскостью AOS образует △SAC, так как точки A,O,C лежат на одной прямой.

б) Обозначим через O точку пересечения диагоналей квадрата. Диагональ AC⊥BD и высота пирамиды SO⊥BD, поэтому BD⊥AOS. Пусть E - основание перпендикуляра, опущенного из точки O на ребро SA. Так как BD⊥AOS, то BD⊥OE
Таким образом, OE - общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым BD и SA. Заметим, что OE - высота прямоугольного треугольника AOS, опущенная на гипотенузу AS. Пусть AO=a , тогда SO=√25−a2. Площадь треугольника AOS равна 12SA×OE=5, с другой стороны равна 12AO×SO=12a√25−a2. Решим уравнение 12a√25−a2=5. Оно имеет положительные корни a=√5,a=2√5
Пусть a=√5, тогда SO=2√5 и площадь основания данной пирамиды равна 12(2a)2=10. Объем пирамиды SABCD равен 13×10×2√5=20√53
Пусть a=2√5, тогда SO=√5 и площадь основания данной пирамиды равна 12(4√5)2=40. Объем пирамиды SABCD равен 13×40×√5=40√53
Ответ: 20√53 и 40√53
Решите систему неравенств
{(x2−4)logx(5−x)⩾
Решение:
Решим первое неравенство.
ОДЗ \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x>0\\x\neq1\end{array}\\5-x>0\end{array}\right.x\in(0;1)\cup(1;5)
На ОДЗ неравенство равносильно неравенству:
(x^2-4)(x-1)(5-x-1)\geq0; (x-2)(x+2)(x-1)(5-x-1)\geq0
С учетом ОДЗ, x\in(0;1)\cup\left[2;4\right]
Решим второе неравенство
\begin{array}{l}5^x(6^x-1)+27(1-6^x)\leq0\\(5^x-27)(6^x-1)\leq0\\5^x=27\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6^x=1\\x=\log_527\;\;\;\;\;x=0\\x\in\left[0;\;\log_527\right]\end{array}
Ответ: \left(0;\;1\right)\cup\left[2;\;\log_527\right]
Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и N соответственно, а продолжение стороны АС эта прямая пересекает в точке Р.
а) Докажите, что \frac{AM}{MB}\cdot\frac{BN}{NC}\cdot\frac{CP}{PA}=1.
б) Найдите, в каком отношении точка М делит сторону АВ, если ВС : BN = 7 : 5 и АС : СР = 8 : 3.
Решение:
а) Пусть прямая MN пересекает продолжение стороны AC за точку C. (Случай за точку A абсолютно аналогичен). Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Прямая пересекает AC в точке K.

\bigtriangleup AMP\sim\bigtriangleup CKP по первому признаку. Следовательно \frac{AM}{CK}=\frac{PA}{PC}, CK=\frac{AM\times PC}{PA}
\bigtriangleup BMN\sim\bigtriangleup CKN. Следовательно \frac{MB}{CK}=\frac{BN}{NC}, CK=\frac{MB\times NC}{BN}
Тогда \frac{AM\times PC}{PA}=\frac{MB\times NC}{BN} и \frac{AM}{MB}\times\frac{BN}{NC}\times\frac{PC}{PA}=1
б) BC:BN=7:5. Пусть BC=7x,\;BN=5x, тогда NC=7x-5x=2x и \frac{BN}{NC}=\frac52. AC:CP=8:3. Пусть AC=8y;\;CP=3y, AP=11y. \frac{CP}{PA}=\frac3{11};\;\frac{AM}{MB}\times\frac52\times\frac3{11}=1, \frac{AM}{MB}=\frac{22}{15}
Ответ: \frac{22}{15}
Клиент взял в банке 12 000 000 рублей в кредит под 20% годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем клиент переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы клиент выплатил долг тремя равными ежегодными платежами? (Ответ округлите до целого числа).
Решение:
Пусть a рублей - сумма кредита, x рублей - ежегодный платеж, m\% - годовой процент. Тогда каждый год оставшаяся сумма умножается на t=(1+\frac m{100})
После первой выплаты сумма долга составит a_1=at-x
После второй выплаты a_2=a_1t-x=(at-x)t-x=at^2-(t+1)x
Аналогичным образом после третьей выплаты останется a_3=at^3-\frac{t^3-1}{t-1}x
По условию за три выплаты клиент оплатил кредит полностью.
\begin{array}{l}at^3-\frac{t^3-1}{t-1}x=0\\x=\frac{at^3(t-1)}{t^3-1}\\a=12000000,\;m=20,\;t=1,2\\x=\frac{12000000\times1,2^3\times0,2}{1,2^3-1}\approx5696703\end{array}
Ответ: 5 696 703
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение \frac a{9^x}+a=-1-\frac{9^{-2x}}3 имеет ровно два корня, больший из которых не меньше 0,5.
Пусть в данном уравнении 2 корня, x_1<x_2,\;x_2\geq0,5
Сделаем замену 9^{-x}=t,\;t\in(0;+\infty)
Тогда уравнение примет вид at+a+1+\frac{t^2}3=0. Пусть это квадратное уравнение имеет два корня t_1>t_2>0. Тогда условие будет выполняться, если x_2\geq0,5, для переменной t t_2\leq\frac13
Перепишем уравнение в виде a(t+1)=-1-\frac{t^2}3;\;a(t+1)=\frac{-3-t^2}3;\;a=\frac{-3-t^2}{3(t+1)};\;
Исследуем функцию a=\frac{-3-t^2}{3(t+1)};\;
ОДЗ: t\neq-1, Функция не имеет предела при t->\infty
a`(t)=-\frac13\times\frac{2t(t+1)-(t^2+3)\times1}{(t+1)^2}=\frac{(t-1)(t+3)}{-3(t+1)^2}
a`(t)=0 при t=1,\;t=-3 (см. рисунок )
a(1)=-\frac23;\;a(-3)=2; a(0)=-1;\;\;a(\frac13)=-\frac79
построим график y=a(t)
По рисунку видно, что условие t_1>t_2>0,\;t_2\leq\frac13 выполняется при a\in(-1;-\frac23\rbrack

Ответ: (-1; -7/9]
Ежедневно в зоопарке каждой лисе полагается 2 кг мяса, тигру — 14 кг, льву — 21 кг. Известно, что у каждого льва бывает ежедневно 230 посетителей, у каждой лисы — 20, у каждого тигра — 160 и все эти звери есть в зоопарке.
а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в зоопарке распределяют 70 кг мяса?
б) Может ли ежедневно распределяться 420 кг мяса, если известно, что посещений за 1 день было меньше 4000?
в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений у этих зверей, если зоопарк ежедневно распределяет между ними 111 кг мяса?
Решение:
Обозначим число лис в зоопарке буквой c, львов - l, тигров - t. Тогда им ежедневно дают 2c+14t+21l кг мяса, а посетителей бывает 20c+160t+230l=P
а) По условию 2c+14t+21l=70, где \{c,t,l\}\subset\mathbb{Z}. 70 делится на 7 и 14t+21l делится на 7, значит 2с, а следовательно, и с делится на 7. Если с=7, то 14+7(2t+3l)=70, 2t+3l=8. При t\in\mathbb{N}\;l<\frac83 и делится на 2, значит l=2,t=1 и число посетителей равно 20\times7+160\times1+230\times2=760
б) По условию, 2c+14t+21l=420. Может ли 20c+160t+230l быть меньше 4000?
20c+160t+230l=10(2c+16t+23l)>10(2c+14t+21l)=10\times420=4200. Получилось, что 20c+160t+230l>4200, значит, при таких условиях не может ежедневно распределяться 420кг мяса
в) Нам дано, что 2c+14t+21l=111. Так как количество животных натуральные числа, l нечетно и 21l\leq111-(2+14),\;21l\leq95,\;l\leq4,\; то есть l=3 или l=1
1) l=1, тогда 2с+14t+21=111;2с+14t=90;с+7t=45;с=45-7t;t\leqslant6\frac27. Число посетителей:
P=20c+160t+230l=20(45-7t)+160t+230=1130+20t наибольшее при наибольшем t, т.е.при t=6, P=1130+20\times6=1250.
2) l=3, тогда 2с+14t+21\times3=111;2с+14t=48;c=24-7t\geqslant1;t\leqslant3\frac27
P=20c+160t+230\times3=20t+1170 наибольшее при наибольшем t, т.е. при t=3. P=20\times3+1170=1230
Наибольшее число посетителей 1250.
Ответ: а) 760 б) не может в) 1250
№ | Ваш ответ | Ответ и решение | Первичный балл |
---|---|---|---|
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения. |