Вариант 10

Решение:

а)$6\sin^2x-3\sqrt2\sin x=0$

$6\sin x(\sin x-\frac{\sqrt2}2)=0$

$\sin x=0$ или $\sin x=\frac{\sqrt2}2$

$x=\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}$; $x=(-1)^k\frac{\mathrm\pi}4+k\mathrm\pi,\;\mathrm k\in\mathbb{Z}$

б) $x\in\left[\frac{-5\mathrm\pi}2;-\mathrm\pi\right]$

$\begin{array}{l}n=1;\;x=-\mathrm\pi\\\mathrm n=-2;\;\mathrm x=-2\mathrm\pi\\\mathrm k=-1;\;\mathrm x=-\frac{5\mathrm\pi}4\\\mathrm k=-2;\;\mathrm x=-\frac{7\mathrm\pi}4\end{array}$

Ответ: а)$x=(-1)^k\frac{\mathrm\pi}4+k\mathrm\pi,\;\mathrm k\in\mathbb{Z}$, $x=\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}$

б)$-\mathrm\pi;-2\mathrm\pi;-\frac{5\mathrm\pi}4;-\frac{7\mathrm\pi}4.$

Решение:

а) Пусть $O$ и $O_1$ - центры оснований цилиндра, тогда $F$ и $F_1$ - середины хорд $BC$ и $B_1C_1$ соответственно (см. рисунок). Покажем, что $AFF_1$ - искомая плоскость. $A_1F$ - медиана, а значит, и высота равнобедренного треугольника $A_1BC$. $FF_{1\;}\parallel\;BB_1$, значит, $FF_{1\;}\perp\;(ABC)$ и, в частности, $FF_{1\;}\perp\;BC$. Итак, $FF_{1\;}\perp\;BC$ и $A_1F\;\perp\;BC$, тогда $(AFF_1)\perp BC$, откуда $(AFF_1)\perp A_1BC$ и $(AFF_1)\perp BB_1C_1C$. Сечением призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $AFF_1$ является прямоугольник $ADD_1A_1$

б) Угол между плоскостями $B_1BC$ и $A_1BC$ - это угол $A_1FF_1:$

$A_1F\;\in\;(A_1BC)$, $FF_1\;\in\;(B_1BC)$. $\bigtriangleup A_1CB\;$ - равнобедренный, $\;A_1F\perp BC,$ $B_1BCC_1$ - прямоугольник, $FF_1\;\parallel\;BB_1$ и $FF_1\;\perp\;BC$, отсюда $\angle A_1FF_1$ - линейный угол двугранного угла между плоскостями $A_1CB$ и $B_1BC$.

Из $\bigtriangleup A_1FF_1$: $\angle A_1F_1F=90^\circ$ $tg\angle A_1FF_1=\frac{A_1F_1}{FF_1}$; $A_1F_1=AF;\;AF=AO-FO.$

Из $\bigtriangleup OFC$, где $\angle OFC=90^\circ$, $FC=6,$ найдем $FO=\sqrt{OC^2-FC^2}=2\sqrt7$. $AF=8-2\sqrt7.$

$tg\angle A_1FF_1=\frac{8-2\sqrt7}{24}=\frac{4-\sqrt7}{12}$

$\angle A_1FF_1=arctg(\frac{4-\sqrt7}{12})$

Ответ: $arctg(\frac{4-\sqrt7}{12})$

Решение:

ОДЗ: $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x-3>0\\x+3>0\\\frac{x+3}{x-3}>0\\\frac{x+3}{x-3}\neq1\end{array}\\x\neq3\end{array}\right.$; x>3 или x<-3

$\log_{0,5}\left(\frac{x-3}{x+3}\right)-\frac1{\log_2\left(\frac{x+3}{x-3}\right)}>0$

$-\log_2\left(\frac{x-3}{x+3}\right)+\frac1{\log_2\left(\frac{x-3}{x+3}\right)}>0$

$\log_2\frac{x-3}{x+3}=t;\;-t+\frac1t>0$

$\frac{t^2-1}t<0$

$\log_2\frac{x-3}{x+3}<-1$ или $0<\log_2\frac{x-3}{x+3}<1$

$\log_2\frac{x-3}{x+3}<\log_2\frac12$ или $\log_2\frac{x-3}{x+3}<\log_22$

$\frac{x-3}{x+3}<\frac12$ или $1<\frac{x-3}{x+3}<2$

Первое неравенство: $\frac{x-9}{2(x+3)}<0$

$-3<x<9$

Двойное неравенство: $\left\{\begin{array}{c}\frac{-6}{x+3}>0\\\frac{-x-9}{x+3}<0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}x<-3\\x>-3\;или\;x<-9\end{array}\right.$

Решение двойного неравенства: x<-9

Общее решение: или x<-9, или -3<x<9

Так как на ОДЗ x>3 или x<-3, получаем, что x<-9 или 3<x<9

Ответ: $x\in(-\infty;-9)\cup(3;9)$

Решение:

а) Требуется доказать, что $EM^2=BC\times AD.$

$ABCD$ - равнобедренная трапеция, $AB=DC$

$CK\perp AD;\;CK=EM.$

$\bigtriangleup CDK:\;\angle CDK=90^\circ,\;CK^2=CD^2-KD^2.$

Учитывая, что четырехугольник $ABCD$ - описан, имеем $AB+CD=BC+AD,\;2AB=BC+AD,\;$$AB=\frac{BC+AD}2$

$CK^2=\left(\frac{AD+BC}2\right)^2-\left(\frac{AD-BC}2\right)^2;$

$CK^2=\left(\frac{AD+BC}2-\frac{AD-BC}2\right)\times\left(\frac{AD+BC}2+\frac{AD-BC}2\right)=BC\times AD.$

$CK^2=BC\times AD,\;EM^2=BC\times AD.$ Что и требовалось доказать.

б) $\begin{array}{l}S_{TP}=\frac{AD+BC}2\times CK=\frac{AD+BC}2\times EM\\\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{BC}{AD}=\frac35\\\end{array}$. Пусть $\begin{array}{l}BC=3x\\\end{array}$, тогда $\begin{array}{l}AD=5x\\\end{array}$ $\begin{array}{l}BC+AD=8x\\\end{array}$,$\begin{array}{l}EM^2=3x\times15x=15x^2\\\end{array}$, $\begin{array}{l}EM=x\sqrt{15}\\\end{array}$

Поставим в формулу площади трапеции:

$\begin{array}{l}52=\frac{8x\times x\sqrt{15}}2\\\end{array}$, $\begin{array}{l}x^2=\frac{13\sqrt{15}}{15}\\\end{array}$.

$\begin{array}{l}EM^2=15\times\frac{13\sqrt{15}}{15}=13\sqrt{15}\\\end{array}$

$\begin{array}{l}EM=\sqrt{13\sqrt{15}}=2OM\\\end{array}$

Ответ: $\begin{array}{l}OM=\frac{\sqrt{13\sqrt{15}}}2\\\end{array}$

За первый год прибыль составила 550-350-100=100 тысяч долларов. Увеличение прибыли каждый год составляло $550\times0,1-350\times0,06-100\times0,04=30$ тысяч долларов. Запишем ряд чисел равных прибылям: 100,130,160,190,220,250....

Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом 100 и разностью 30. Найдем номер наименьшего члена при котором сумма прогрессии будет не менее 800.

$S=\frac{2a_1+d(n-1)}2n$

$\frac{200+30(n-1)}2n\geq800$

$3n^2+17n-160\geq0$

$3(n+\frac{32}3)(n-5)\geq0$

$n\in(-\infty-\frac{32};3)(5;+\infty)$

Ответ: 5 лет.

Решение:

$\frac{2a+1}2\sin3x-\frac a2-\sin^23x=0,$ пусть $\sin3x=t,\;\;-1\leq t\leq1$

$t_1=\frac12,\;t_1=a.$

1) $\sin3x=\frac12,$ 2) $\sin3x=a.$

При $a=1$ данное уравнение имеет ровно три корня на отрезке $\left[\frac{4\mathrm\pi}3;\frac{5\mathrm\pi}3\right].$

Ответ: а=1

Решение:

а) Нельзя. С помощью первых шести натуральных чисел в сумме можно получить два точных квадрата 4 и 9. Под числом 1 может быть записано только число 3, но под числом 6 тоже может быть записано только число 3. Противоречие с условием задачи.

б) Можно. $\begin{array}{ccccccccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\8&2&13&12&11&10&9&1&7&6&5&4&3\end{array}$

в) Можно. Под каждым из чисел 102,103,.....,2013,2014 запишем числа 2014,2013,...,103,102 соответственно. тогда сумма чисел в каждом столбце, начиная со 102го, равна $2116=46^2$. Под каждым из чисел 21,22,...,99,100,101 запишем числа 101,100,99,...,22,21. тогда сумма чисел с 21го по 101й равна $121=11^2$. Под каждым из чисел 16,17,18,19,20 запишем числа 20,19,18,17,16. Тогда сума чисел в каждом столбце, с 16го по 20, равна $36=6^2$. Под каждым из чисел 1,2,...,14,15 запишем числа 15,14,...,2,1. Тогда сумма чисел в каждом столбце,с 1го по 15й, равна $16=4^2$