Вариант 3

(x+2)²≥4(x+2)

(x+2)²-4(x+2)≥0

x²+4x+4-4x-8≥0

x²-4≥0

x²≥4

x≤-2 или x≥2

Ответ: (-∞;-2], [2;∞)

Пусть Х дней надо одному мастеру для выполнения работы, а другому Х+15 дней. Работоспособность первого 1/Х, а второго - 1/(Х+15). После того, как первый проработал 10 дней было сделано 10/Х работы и, затем, еще 30/(Х+15) работы вторым за 30 дней. В результате работа была выполнена.

$\frac{10}x+\frac{30}{x+15}=1$

$\frac{10x+150+30x}{x(x+15)}=1$

$40x+150=x^2+15x$

$x^2-25x-150=0$

x₁=30 - дней надо одному мастеру для выполнения задания

x₂=-5 - лишний корень

30+15=45 дней необходимо другому мастеру

Работоспособность обоих мастеров 1/30 + 1/45 = 1/18. Значит необходимо 18 часов для совместного выполнения задания.

Ответ: 18

Раскроем знак модуля:

при x<0

у=(x²+x)•(-x)/(x+1) - упростим выражение при x≠-1, так как при x=-1 - разрыв функции типа дырка.

у=-x² - парабола, ветви вниз, без растяжений и сжатий.

при x≥0

у=(x²+x)•x/(x+1)

у=x² - парабола, ветви вверх, без растяжений и сжатий.

Объединяем полученные графики и получаем график функции $\frac{\left(x^2+x\right)\cdot\vert x\vert}{x+1}$

Прямая y = а не имеет с графиком ни одной общей точки, только в точке разрыва a=-1.

Ответ: -1

OB=OC=17 - радиусы, значит они перпендикулярны соответствующим касательным BA и CA. Прямоугольные треугольники ABO и ACO равны между собой по катету и общей гипотенузе, поэтому AB=AC, треугольник ABC - равнобедренный и AD - биссектриса ∠BAC. Таким образом, AD - еще и высота, и медиана равнобедренного треугольника, и искомое расстояние от точки А до хорды.

В прямоугольном △OBD : OB=17, BD=30/2=15. По теореме Пифагора OD=√(OB²-BD²)=8

По теореме о пропорциональных отрезках: BD²=OD•AD

AD=BD²/OD=15²/8=28,125

Ответ: 28,125

Так как стороны AB и DC параллельны, то углы ∠DBA=∠BDC и ∠BAC=∠DCA. Треугольники △MAB и △MDC прямоугольные, так как диагонали перпендикулярны, △MAB и △MDC - подобны по двум равным углам.

Значит $\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}=\frac{AB}{CD}=k$

Для подобия прямоугольных треугольников △DMA и △CMA необходимо выполнения условия $\frac{MD}{MC}=\frac{MA}{MB}$ - что противоречит соотношениям $\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}=k$.

Поэтому рассмотрим прямоугольные треугольники △DMA , △AMB , △BMC , △CMD

△DMA:

$MQ=\frac{MA\cdot MD}{AD}$ - высота прямоугольного треугольника

$\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}$ → $MA\cdot MD=MC\cdot MB$

$MQ=\frac{MA\cdot MD}{AD}=\frac{MC\cdot MB}{AD}$

△AMB:

$MH=\frac{MB\cdot MA}{BC}$

$\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}=\frac{AB}{CD}$ → $MB=\frac{AB\cdot MD}{CD}$ и $MA=\frac{AB\cdot MC}{CD}$

$MH=\frac{MB\cdot MA}{BC}=\frac{MD\cdot MA}{CD}=\frac{MB\cdot MC}{CD}$

△BMC:

$MS=\frac{MC\cdot MB}{BC}$

$\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}$ → $MA\cdot MD=MC\cdot MB$

$MS=\frac{MC\cdot MB}{BC}=\frac{MA\cdot MD}{BC}$

△CMD:

$MK=\frac{MC\cdot MD}{CD}$

$\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}=\frac{AB}{CD}$ → $MD=\frac{MB\cdot CD}{AB}$ и $MC=\frac{MA\cdot CD}{AB}$

$MK=\frac{MC\cdot MD}{CD}=\frac{MA\cdot MD}{AB}=\frac{MC\cdot MB}{AB}$

——————————————————————

$MQ=\frac{MA\cdot MD}{AD}=\frac{MC\cdot MB}{AD}$

$MH=\frac{MB\cdot MA}{BC}=\frac{MD\cdot MA}{CD}=\frac{MB\cdot MC}{CD}$

$MS=\frac{MC\cdot MB}{BC}=\frac{MA\cdot MD}{BC}$

$MK=\frac{MC\cdot MD}{CD}=\frac{MA\cdot MD}{AB}=\frac{MC\cdot MB}{AB}$

Почленным деление правых и левых частей выражений получаем следующие соотношения:

$\frac{MH}{MS}=\frac{BC}{CD}$

$\frac{MK}{MQ}=\frac{AD}{AB}$

$\frac{MH}{MQ}=\frac{AD}{CD}$

$\frac{MK}{MS}=\frac{BC}{AB}$

Так как окружность вписана в четырехугольник, то AB+CD=AD+BC :

$\frac{MH}{MS}=\frac{BC}{CD}$ → $CD=BC\frac{MS}{MH}$

$\frac{MK}{MQ}=\frac{AD}{AB}$ → $AB=AD\frac{MQ}{MK}$

$AD\frac{MQ}{MK}+BC\frac{MS}{MH}=AD+BC$ → $\frac{MQ}{MK}=1$ и $\frac{MS}{MH}=1$

$\frac{MH}{MQ}=\frac{AD}{CD}$ → $AD=CD\frac{MH}{MQ}$

$\frac{MK}{MS}=\frac{BC}{AB}$ → $BC=AB\frac{MK}{MS}$

$AB+CD=CD\frac{MH}{MQ}+AB\frac{MK}{MS}$ → $\frac{MH}{MQ}=1$ и $\frac{MK}{MS}=1$

MQ=MK ; MS=MH ; MH=MQ ; MK=MS → MQ=MK=MS=MH=R - радиус окружности

$\frac{MH}{MK}=k=1$ → △DMA , △AMB , △BMC , △CMD равны между собой, а значит ABCD ромб и AD=BC.

PA и OC - радиусы окружностей равные 2 и 3 соответственно и перпендикулярные касательной AC.

Вписанный угол MBA равен 30° и опирается на дугу ⌒МА, величина которой в два раза больше - 60°. Центральный угол ∠МРА опирается на ту же дугу, и так же равен 60°. Значит △МРА равносторонний, так как ∠МРА=60° и РА,РМ - радиусы, т.е. все углы в △МРА по 60°.

∠МАС=180°-90°-∠РАМ=180°-90°-60°=30°

Аналогично, дуга ⌒СN равна 60° и угол ∠МРА=60°, треугольник △NOC - равносторонний.

∠NCA=180°-90°-∠OCN=180°-90°-60°=30°

△ABC и △ACN: ∠ВАС - общий, ∠ABC=∠NCA=30­­° → △ABC~△ACN - подобны → ∠ACB=∠ANC

△ABC и △ACM: ∠ВСА - общий, ∠ABC=∠МАС=30­­° → △ABC~△ACM - подобны → ∠ACB=∠AMC

∠ACB=∠ANC=∠AMC и ∠NCA=∠МАС=30­­° → △ACN~△CAM - подобны → $\frac{AC}{AM}=\frac{CN}{AC}$

AC=√AM⋅CN=√РА⋅ОС=√2⋅3=√6

Ответ: √6