Решение:

$\begin{array}{l}\frac3{x-1}+\frac1{x+2}\leq\frac1{x-1}+\frac3{x+2};\\\frac{3(x+2)+x-1}{(x-1)(x+2)}\leq\frac{x+2+3(x-1)}{(x-1)(x+2)};\\\frac6{(x-1)(x+2)}\leq0\\x\in(-2;1)\end{array}$

Решим второе неравенство системы.

ОДЗ: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\x\neq1\end{array}\right.$

Пусть $\log_3x=t$, тогда $\frac2t-3t\geq1$; $\frac{-3t^2-t+2}t\geq0$

решив уравнение $3t^2+t-2=0$, получим $t_1=-1;\;t_2=\frac23$, тогда рассматриваемое неравенство примет вид $\frac{3(t-{\displaystyle\frac23})(t+1)}t\leq0$. $t\in(-\infty;\;-1\rbrack\;\cup(0;\;\frac23\rbrack$. Из условия $\log_3x\leq-1$ получим $x\leq\frac13$ и из условия $0\leq\log_3x\leq\frac23$ получим $x\in(1;\sqrt[3]9\rbrack$. Учитывая ОДЗ, получим $x\in(0;\frac13\rbrack\cup(1;\sqrt[3]9\rbrack$

Определим пересечение полученных решений первого и второго неравенства системы: $x\in(0;\frac13\rbrack$

Ответ: (0; 1/3]