Решение:

ОДЗ: $x>0$

$(x-1)(2\log_3^2x-5\log_3x+2)<0$

$(x-1)(\log_3x-2)(2\log_3x-1)<0$

На ОДЗ выражение $\log_3x-2=\log_3x-\log_39$ совпадает по знаку с выражением $x-9$, а выражение $2\log_3x-1=2(\log_3x-\log_3\sqrt3)$ - с выражением $x-\sqrt3$. Получим, что исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству $(x-1)(x-9)(x-\sqrt3)<0$. Решив его методом интервалов получим $x\in(-\infty;1)\cup(\sqrt3;9)$. Учитывая ОДЗ $x\in(0;1)\cup(\sqrt3;9)$

Ответ: $\left(0;\;1\right)\cup\left(\sqrt3;\;9\right)$