Решение:

Приведем данное уравнение к виду:

$x^{10}+x^2=(2a+2\left|x\right|+a^2)^5+2a+2\left|x\right|+a^2$ или $f(x^2)=f(2a+2\left|x\right|+a^2)$, где $f(p)=p^5+p$. Так как производная $f`(p)=5p^4+1>0$ всегда больше нуля, то функция возрастает на всей области определения. Следовательно получаем равносильно уравнение $x^2=2a+2\left|x\right|+a^2$ или $x^2-2\left|x\right|-2a-a^2=0$

Пусть $\left|x\right|=t$, тогда получим квадратное уравнение $t^2-2t-2a-a^2=0$, имеющее корни $t=-a;\;t=a+2$. отсюда запишем $\left|x\right|=-a;\;\left|x\right|=a+2$ . Построим графики функций $a(x)=-\left|x\right|;\;a(x)=\left|x\right|-2$ . Первый график имеет "вершину" (0;0), а второй - (0;2). Решая систему $\left\{\begin{array}{l}a=-\left|x\right|\\a=\left|x\right|-2\end{array}\right.$ найдем координаты двух общих точек (-1;1) и (1;-1)

Рассмотрим семейство горизонтальных прямых.

При $a\in(-\infty;-2)\cup\{-1\}\cup(0;+\infty)$ эти прямые пересекают построенный график, состоящий из двух уголков, ровно в двух точках. Значит, данное уравнение имеет ровно два различных решения при $a\in(-\infty;-2)\cup\{-1\}\cup(0;+\infty)$

Ответ: $(-\infty;-2)\cup\{-1\}\cup(0;+\infty)$