Решение:

Приведем данное уравнение к виду:

$x^6+x^2=(3\left|x\right|-3a+a^2)^3+3|x|-3a+a^2$ или $f(x)=f\left(3\left|x\right|-3a+a^2\right)$, где $f(p)=p^3+p$. Так как производная $f`(p)=3p^2+1>0$ при всех значениях p, то функция возрастает на всей области определения. Следовательно, получаем равносильное уравнение $x^2=3\left|x\right|-3a+a^2$ или $x^2-3\left|x\right|+3a-a^2=0$

Пусть $\left|x\right|=t$, тогда получим квадратное уравнение $t^2-3t+3a-a^2=0,$ имеющее корни $t=a,\;t=3-a$. Отсюда получаем $\left|x\right|=a,\;\left|x\right|=3-a$. Построим графики функций $a(x)=\left|x\right|$ и $a(x)=3-\left|x\right|$ (см. рисунок). Первый график имеет "вершину" (0;0), а второй - (0;3). Решая систему $\left\{\begin{array}{l}a=\left|x\right|\\a=3-\left|x\right|\end{array}\right.$ найдем координаты двух общих точек: (-1,5;1,5) и (1,5; 1,5).

Рассмотрим семейство горизонтальных прямых.

При $a\in(0;1,5)\cup(1,5;3)$ эти прямые пересекают построенный график ровно в 4 точках. Значит, данное уравнение имеет ровно 4 различных решения при $a\in(0;1,5)\cup(1,5;3)$

Ответ: $(0;1,5)\cup(1,5;3)$