Сделаем замену $3-2tgx=t,$ уравнение примет вид $t^2-(a^2+2a-4)t+(a^2-1)(2a-3)=0.$ пользуясь обратной теоремой Виета, запишем корни уравнения $t_1=a^2-1,\;t_2=2a-3$, откуда:

$\left\{\begin{array}{l}3-2tgx=a^2-1\\3-tgx=2a-3\end{array}\right.\;\left\{\begin{array}{l}tgx=\frac{4-a^2}2\\tgx=3-a\end{array}\right.$

Изобразим эскиз графика функции $y=tgx$ при $x\in\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right]$ (см. рисунок)

Очевидно, что при $x\in\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right]$, уравнение $tgx=b$ имеет 2 решения при $b\leq0$

и 1 решение при $b>0$. Значит исходное уравнение на отрезке $\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right]$ имеет ровно 2 решения в одном из 2 случаев.

1) $\frac{4-a^2}2=3-a\leq0$

2) $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}\frac{4-a^2}2>0\\3-a>0\end{array}\\\frac{4-a^2}2\neq3-a\end{array}\right.$

Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.

1) Решим вспомогательное уравнение $\frac{4-a^2}2=3-a;\;a^2-2a+2=0$ - нет корней.

2) Решим систему: $\left\{\begin{array}{lc}\begin{array}{c}\frac{4-a^2}2>0\\3-a>0\end{array}&\\\frac{4-a^2}2\neq3-a&\end{array}\right.$

Из предыдущего пункта воспользуемся тем фактом, что уравнение $\frac{4-a^2}2=3-a$ не имеет решений. Получим систему $\left\{\begin{array}{l}4-a^2>0\\3-a>0\end{array}\right.$. $a\in(-2;2)$

Ответ: $(-2;2)$