Решение:

а) Заметим, что $OA\perp AC$ и $O_1C\perp AC$ по свойству радиусов, проведеных в точку касания (см. рисунок). Опустим $OK\perp O_1C$, тогда $OACK$ - прямоугольник, $CK=OA=2,$$O_1K=O_1C-CK=6-2=4.$ Обозначим буквой $M$ точку касания окружностей, тогда $OM=2,\;O_1M=6,\;OO_1=8.\;$ В прямоугольном треугольнике $O_1OK$ выполняется соотношение $\frac{O_1K}{OO_1}=\frac12$, следовательно, $\angle O_1OK=30^\circ.$ Тогда $\angle OO_1K=90^\circ-\angle O_1OK=60^\circ,$$\angle CO_1O=60^\circ,$ что и требовалось доказать.

б) $\angle O_1OA=180^\circ-60^0=120^\circ.$ Градусная мера внешней дуги внешней окружности равна$360^\circ-120^\circ-120^\circ=120^\circ$. Градусная мера внешней дуги большей окружности равна $360^\circ-60^\circ-60^\circ=240^\circ$. Значит, длина внешней внешней дуги меньшей окружности равна $\begin{array}{l}2\mathrm\pi\times2\times\frac{120^\circ}{360^\circ}=\frac{4\mathrm\pi}3\\\end{array}$. Длина внешней дуги большей окружности равна $\begin{array}{l}2\mathrm\pi\times6\times\frac{240^\circ}{360^\circ}=8\mathrm\pi\\\end{array}$. Из треугольника $\begin{array}{l}{\mathrm O}_1\mathrm{OK}\\\end{array}$ по теореме Пифагора $\begin{array}{l}\mathrm{OK}=\sqrt{{\mathrm{OO}}_1^2-{\mathrm O}_1\mathrm K^2}=\sqrt{48}=4\sqrt3\\\end{array}$. $\begin{array}{l}\mathrm{AC}={\mathrm A}_1{\mathrm C}_1=4\sqrt3\\\end{array}$

Искомый периметр равен: $\begin{array}{l}\frac{4\mathrm\pi}3+4\sqrt3+8\mathrm\pi+4\sqrt3=8\sqrt3+\frac{28\mathrm\pi}3\\\end{array}$

Ответ: $\frac{28\mathrm\pi}3+8\sqrt3$