Решение:

1) $2^x+\frac{22}{2^x}\geq13$

Пусть$2^x=t,\;t>0$

$\left\{\begin{array}{l}t+\frac{22}t-13\geq0\\t>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}t^2-13t+22\geq0\\t>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}(t-11)(t-2)\geq0\\t>0\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}0<t\leq2,\;t\geq11\\0<2^x\leq2,\;2^x\geq11\\x\leq1,\;x\geq\log_211\end{array}$

2) $\begin{array}{l}x\log_{x+2}(5-2x)\leq0\\x(\log_{x+2}(5-2x)-\log_{x+2}1)\leq0\end{array}$

ОДЗ: $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x+2>0\\x+2\neq1\end{array}\\5-2x>0\end{array}\right.$

$x\in(-2;-1)\cup(-1;2,5)$

На ОДЗ выражение $\log_{x+2}(5-2x)-\log_{x+2}1$ совпадает по знаку с выражением $(x+2-1)(5-2x-1).$

Получим $x(x+1)(4-2x)\leq0$, $x(x+1)(x-2)\geq0$, $x\in\lbrack-1;0\rbrack\cup\lbrack2;+\infty)$

Учитывая ОДЗ, получим $x\in(-1;0\rbrack\cup\lbrack2;2,5)$

Объединим полученные решения в систему.

$\left\{\begin{array}{l}x\in(-1;0\rbrack\cup\lbrack2;2,5);\\x\leq1,\;x\geq\log_211.\end{array}\right.$

Так как $\log_211>\log_28=3$, то решением системы является промежуток $(-1;0\rbrack$

Ответ: $(-1;0\rbrack$