Решение:

Так как $FB\;\perp\;(ABC)$, то $FB\;\perp\;AB$ и $FB\;\perp\;BC$ (см. рисунок).

Из прямоугольных треугольников $FAB$ и $FBC$ получим $FB=\sqrt{AF^2-AB^2}=8,\;FC=\sqrt{FB^2+BC^2}=10$

$\cos\angle FAB=\frac{AB}{AF}=0,6$, тогда из $\bigtriangleup ANL$ по теореме косинусов $NL^2=AN^2+AL^2-2AN\times NL\times\cos\angle FAB=\frac{29}5\times4$

$NL=2\times\frac{\sqrt{29}}{\sqrt5}$

Из $\bigtriangleup FAC$: $\cos\angle FAC=\frac{AF^2+AC^2-FC^2}{2\times AF\times AC}=0,3$

Из $\bigtriangleup ALK$ по теореме косинусов $LK^2=AL^2+AK^2-2AL\times AK\times\cos\angle FAC=\frac{47}5\times4$

$LK=\frac{\sqrt{47}}{\sqrt5}\times2,\;NK=4.$

$\cos\angle LNK=\frac{{\displaystyle\frac{4\times29}5}+16-{\displaystyle\frac{4\times47}5}}{2\times{\displaystyle\frac{2\sqrt{29}}{\sqrt5}}\times4}=\frac1{2\sqrt{145}}$

$sin\angle LNK=\sqrt{1-\frac1{580}}=\frac{\sqrt{579}}{2\sqrt{145}}$

$S_{KLN}=\frac12LN\times NK\times sin\angle LNK=0,4\sqrt{579}$

Ответ: $0,4\sqrt{579}$