Решение:

a) Шестизначный палиндром имеет вид $\overline{xyzzyx}$. Цифру $x$ можно выбрать 9 способами (x$(x\neq0)$), после этого $y$ - тоже 9 способами $(y\neq x)$, затем $z$ - 8 способами. Всего $9\times9\times8=648$ таких палиндромов.

б) Да, приведем примеры: $a=10,\;b=1.$ $a^n=10^n$ - не является палиндромом, $b^n=1$ - палиндром.

в) Все двузначные палиндромы, очевидно, имеют вид $11a$, $1\leq a\leq9$. Пусть первый палиндром равен $11\alpha$ , второй $11\beta$, тогда их сумма - $11(\alpha+\beta)<200$ . Среди трехзначных чисел, меньших 200, все палиндромы имеют вид $1y1$, где $y$ - цифра. На 11 из них делится только 121. Значит суммой двузначных палиндромов, являющейся палиндромом, может быть одно из чисел 33,55,.....,121, то есть одно из чисел $11t.\;3\leq t\leq11,\;t$ - нечетно. Для каждого $t$ найдем количество его представлений в виде суммы $\begin{array}{l}t=\alpha+\beta,\;(\alpha\neq\beta).\\\end{array}$

Если $\begin{array}{l}t=\alpha+\beta\\\end{array}$, то $\begin{array}{l}\alpha=1,...,t-1\\\end{array}$, при этом $\begin{array}{l}\alpha\neq\beta\\\end{array}$, так как $t\;$ нечетно. То есть для каждого $t\;-(t-1)$ способов. Тогда искомое число вариантов равно $2+4+6+8+10=30$.

Однако при таком подсчете для $t=11$ мы посчитали два лишних представления $(121=110+11=11+110)$, так как число $110$ не является палиндромом. Значит, всего 30-2=28 вариантов.

Ответ: а) 648; б) да; в) 28.