Решение:

ОДЗ: $\left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;a>0,\\\begin{array}{c}a\neq1,\\x^2+ax+10\geq0\\x^2+ax+11>0\end{array}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;a>0,\\\begin{array}{c}a\neq1,\\x^2+ax+10\geq0\end{array}\end{array}\right.$

Обозначим $x+\frac\alpha2=t.$

Уравнение примет вид

$log_\frac1a(\sqrt{t^2+10-\frac{a^2}4}+1)lg(t^2+11-\frac{a^2}4)+2\log_a2=0.$

Функция $f(t)=log_\frac1a(\sqrt{t^2+10-\frac{a^2}4}+1)lg(t^2+11-\frac{a^2}4)+2\log_a2$ - четная

Исходное уравнение имеет ровно одно решение при $t=0$, в противном случае будет иметь не менее двух решений,что противоречит условию задачи.

Имеем $f(0)=0.$

$\log_\frac1a(\sqrt{10-\frac{a^2}4}+1)lg(11-\frac{a^2}4)+2\log_a2=0. (1)$

Пусть $\sqrt{10-\frac{a^2}2}=b,\;b\geq0.$ Тогда уравнение (1) принимает вид: $\begin{array}{l}-\log_a(b+1)lg(b^2+1)+\log_a4=0,\\\log_2(b+1)\times log_2(b^2+1)=\log_24\times\log_210.\;(2)\end{array}$

Если $b=0$, то получаем противоречие, поэтому $b>0,\;b+1>1$ и $b^2+1>1$. Отсюда следует, что функции $g(b)=\log_2(b+1)$ и $f(b)=\log_2(b^2+1)$ являются возрастающими положительными функциями. Их произведение является тоже возрастающей функцией.

Если $b+1=4$ и $b^2+1=10$, то $b=3$ удовлетворяет (2).

Других решений уравнение (2) не имеет, так как права часть уравнения (2) является константой.

Ответ: $a=2$