Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому $4k-8l+0\times m=-3(k+l+m).$

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому

$k+l+m$ — количество целых чисел — делится на 4. По условию $40<k+l+m<48,$, поэтому $k+l+m=44$. Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведем равенство $4k-8l=-3(k+l+m)$ к виду $5l=7k+3m$. Так как $m\geq0$, получаем, что $5l\geq7k$, откуда $l>k$. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) Подставим $k+l+m=44$ в правую часть равенства $4k-8l=-3(k+l+m):\;4k-8l=-132,$ откуда $k=2l-33$. Так как $k+l\leq44$, получаем: $3l-33\leq44;\;3l\leq77;\;l\leq25;\;k=2l-33\leq17$, то есть положительных чисел не более 17.

Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число -8 и 2 раза написан 0. Тогда $\frac{4\times17-8\times25}{44}=-3$, указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.