Имеем два случая: $x<0$,$x\geq0$

1 случай: $x\geq0$. Преобразуем функцию:

$f(x)=x^3-6x^2+(9+6a-3a^2)x$

Найдем производную функции:

$f'(x)=3x^2-12x+(9+6a-3a^2)$

$f'(x)=0$

$x^2-4x+3+2a-a^2=0$

$D=16-4(3+2a-a^2)=4(a-1)^2$

$x_1=3-a$, $x_2=1+a$

Определим знак производной:

1) 0<a<1; 1<a+1<2; 2<3-a<3

x=a+1- точка максимума;fmax=

$fmax=f(a+1)=-2(a+1)(a^2-a-2)$

2) 1<a<2; 2<a+1<3;1<3-a<2

x=3-a-точка максимума

$fmax=f(3-a)=2(3-a)(6-a)$

3)2<a<3; 3<a+1<4; 0<3-a<1

x=a+1 не принадлежит отрезку x=3-a- точка максимума

4)a>3

x=a+1,x=3-a не принадлежат отрезку значений x

т.к. функция убывает, то fmax=f(0)=0

2 случай: x<0. Преобразуем функцию:

$f(x)=-x^3-6x^2+(-9+6a+3a^2)x$

Найдем производную функции:

$f'(x)=-3x^2-12x+(-9+6a+3a^2)$

$f'(x)=0$

$x^2+4x+3-2a-a^2=0$

$D=16-4(3-2a-a^2)=4(a+1)^2$

$x_1=-3-a$, $x_2=-1+a$

Определим знак производной:

1) -1<a<0;-3<-3-a<-2; -2<a-1<-1

x=a-1- точка максимума;fmax=

$fmax=f(a-1)=-2(a-1)(a^2+2a+2)$

2) -2<a<-1; -3<a-1<-2;-2<-3-a<-1

x=-3-a-точка максимума

$fmax=f(-3-a)=2a(-3-a)(a+3)$

3)-3<a<-2; -4<a1<-3;

x=-3-a точка максимума

$fmax=f(-3-a)=2a(-3-a)(a+3)$

4)a<-3; a-10

т.к. функция убывает, то $fmax=f(-3)=-9a^2-18a$

Ответ:

при a≤-3 f_max=–9a2–18a;

при -3<a≤-1 f_max=-2a(a+3)²;

при -1<a≤0 f_max=2·(a–1)·(a2+2a+2);

при 0<a≤1 f_max=(a+1)·(–2a2+2a+4));

при 1<a≤3 f_max=2·(3–a)·(6–a);

при a>3 f_max=0.