А) Преобразуем уравнение:

Так как левая и правая части уравнения неотрицательны, возведем в квадрат обе части уравнения. Получим :

$x=\left[x\right]+2\sqrt{\left[x\right]x-\left[x\right]^2}+x-\left[x\right]$

$2\sqrt{\left[x\right]x-\left[x\right]^2}=0$

$\left[x\right]x-\left[x\right]^2=0$

$\left[x\right](x-\left[x\right])=0$

Имеем два случая:

1 случай:

$\left[x\right]=0$

т.е. целая часть равна 0. Имеем

$0\leq x<1$

2 случай:

$x-\left[x\right]=0{}$

$x=\left[x\right]$

т.е. число-целое,дробной части нет,$x\in N$

Б) Преобразуем tg:

$tg\frac\pi{12}=\sqrt{\frac{1-cos\frac\pi6}{1+cos\frac\pi6}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}2}{1+\frac{\sqrt3}2}}=\sqrt{\frac{(1-\frac{\sqrt3}2)^2}{1-\frac34}}=\frac{1-\frac{\sqrt3}2}{\frac12}=2(1-\frac{\sqrt3}2)\approx0.3$

$tg\frac{5\pi}{12}=\sqrt{\frac{1-cos\frac{5\pi}6}{1+cos\frac{5\pi}6}}=\sqrt{\frac{1+cos\frac\pi6}{1-cos\frac\pi6}}=\frac{1+\frac{\sqrt3}2}{\frac12}=2(1+\frac{\sqrt3}2)\approx3.7$

Имеем,что в промежуток $0\leq x<1$ входит $\lbrack tg\frac\pi{12};1)$

В промежуток $x\in N$ входит x=1;2;3

Ответ: A) $0\leq x<1$ или $x\in N$

Б) $\left[tg\frac\pi{12};\;1\right]\cup\left\{2;3\right\}$