Пусть $t=sinx$, $-1\leq t\leq1$

$2^t+4t+\sqrt t+2=a\cdot log_2(\frac{16}{1+t})$, ОДЗ: $t\geq0\Rightarrow0\leq t\leq1$

Рассмотрим на участке $t\in\lbrack0;1\rbrack$:

$f(t)=2^t+4t+\sqrt t+2$ - монотонно возрастает при $t\in\lbrack0;1\rbrack$

$f_{min}=f(0)=1+0+0+2=3$

$f_{max}=f(1)=2+4+1+2=9$

Рассмотрим $h(t)=alog_2\left(\frac{16}{1+t}\right)$ на участке $t\in\lbrack0;1\rbrack$

При $a\geq0$ $h(t)$ неотрицательна при $t\in\lbrack0;1\rbrack$ и монотонно убывающая

Тогда

$h_{min}=h(0)=alog_2\left(\frac{16}{1+0}\right)=4a$

$h_{max}=h(1)=alog_2\left(\frac{16}{1+1}\right)=3a$

При $a<0$ график $h(x)$ полностью лежит в нижней полуплоскости.

Рассмотрим уравнение при $a<0$, тогда графическое решение:

Откуда следует, что при $a<0$ уравнение не имеет решений!

Рассмотрим уравнение при $a\geq0$, тогда его графическое решение:

Откуда следует, что

Объединение решений: $a\in(-\infty;\frac34)\cup(3;+\infty)$

Ответ: (-∞; 0,75)⋃(3; +∞)