Вариант 1
Часть 1.
Ответами к заданиям 1–20 являются число или последовательность цифр, которые следует записать в поле соответствующего задания. Если ответом является последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5

На плане изображено домохозяйство, находящееся по адресу: с. Малые Всегодичи, д. 26. Сторона каждой клетки на плане равна 2 м. Участок имеет форму прямоугольника. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок справа от ворот находится коровник, а слева — курятник. Площадь, занятая курятником, равна 72 кв. м. Рядом с курятником расположен пруд площадью 24 кв. м. Жилой дом расположен в глубине территории. Перед домом имеется фонтан, а между фонтаном и воротами — небольшая берёзовая рощица. Между жилым домом и коровником построена баня. За домом находится огород (его границы отмечены на плане пунктирной линией), на котором есть теплица, а также (в самом углу и огорода, и всего домохозяйства) — компостная яма. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м х 1 м. Между коровником и курятником имеется площадка площадью 56 кв. м, вымощенная такой же плиткой.
Сопоставьте объекты, указанные в таблице, с цифрами, которыми эти объекты обозначены на плане. Заполните таблицу, а в бланк ответов перенесите последовательность из пяти цифр.
Объекты | огород | пруд | фонтан | баня | жилой дом |
Цифры |
Тротуарная плитка продаётся в упаковках по 4 штуки. Сколько упаковок понадобилось купить владельцам домохозяйства для того, чтобы выложить все дорожки и площадку между коровником и курятником?
Найдите расстояние от жилого дома до бани (расстояние между двумя ближайшими точками объектов по прямой). Ответ дайте в метрах.
Владельцы домохозяйства планируют обновить всю тротуарную плитку (и дорожки, и площадку между коровником и курятником). В таблице представлены условия трёх поставщиков плитки.
Поставщик | Стоимость плитки (в руб. за 1 кв.м.) | Доставка (в руб.) | Работы по демонтажу старой плитки и по укладке новой (в руб.) |
1 | 270 | 4000 | 15000 |
2 | 280 | 3000 | 5000 |
3 | 300 | 2000 | 8000 |
Во сколько рублей обойдется владельцам самый выгодный вариант?
Решите уравнение (2x+6)2 — 15 = 21 + 4x. Если корней несколько, в ответ запишите наименьший из них.
В коробке лежат четыре вида конфет в красной, синей, зелёной и жёлтой обёртках. Маша уже съела четыре конфеты в красной обёртке и шесть конфет в жёлтой обёртке. Какова вероятность того, что следующая случайно вынутая конфета будет в синей обёртке, если изначально в коробке было 460 конфет, а конфет каждого вида было одинаковое количество? Ответ округлить до десятых и дать в виде десятичной дроби.
Упростите выражение 3x−62y−yx и найдите его значение при х = √2, y = 5. Запишите полученное число.
Объём правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле V=h⋅a24√3, где h — высота пирамиды, а — сторона основания пирамиды. Найдите а (в см), если V = 96 см3, а h = 6√3
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см изображена фигура. Найдите её площадь (в см2).
Укажите номера верных утверждений. Необходимо указать 2 из списка.
1) Окружность и прямая могут пересекаться не более чем в двух точках.
2) Каждая сторона треугольника равна сумме двух других сторон.
3) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
4) Из одной точки вне данной прямой можно провести несколько прямых, перпендикулярных к ней.
Часть 2.
При выполнении заданий 21–26 используйте тетрадь. Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите чётко и разборчиво.
Решите неравенство (x+14−x)2≤14
x2+2x+116−8x+x2−14≤0
4x2+8x+4−16+8x−x24(4−x)2≤0
3x2+16x−124(4−x)2≤0
3(x+6)(x−23)4(4−x)2≤0
Нули числителя: x1=-6 ; x2=2/3
Нули знаменателя: x1,2=4
При любом х, кроме 4, знаменатель больше 0.
При х>2/3 и х<-6 числитель положительный, значит неравенство верно при xє[-6 ; 2/3]
Ответ: [-6 ; 2/3]
Один раствор содержит 20% (по объему) соли, а второй – 70% соли. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100л 50%-ного соляного раствора?
Пусть X литров взято первого раствора, а Y литров - второго. 0,2X соли в перовом растворе и 0,7Y соли во втором растворе. В столитровом растворе X+Y литров и 0,5(X+Y) соли. Получаем систему двух уравнений:
X+Y=100
0,2X+0,7Y=0,5(X+Y)
Y=100-X
0,2X+0,7(100-X)=0,5(X+100-X)
0,2X-0,7X+70=50
X=40 - литров первого раствора
Y=60 - литров второго раствора
Ответ: 40 и 60
Постройте график функции y=2x|x|+x2−6x и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком более двух общих точек.
y=2x|x|+x2−6x
Раскроем знак модуля. Для x<0 :
y=2x•(-x)+x2-6x
y=-x2-6x
y=-(x+3)2+9 - парабола, ветви вниз, вершина (-3;9), без растяжений.
Для x>0
y=2x•x+x2-6x
y=3x2-6x
y=3(x-1)2-3 - парабола, ветви вверх, вершина (1;-3), вытянута вдоль оси y в 3 раза.
Строим график функции y=2x|x|+x2−6x
Прямая y=m параллельна оси OX, значит при m=-3 и m=9 прямая имеет две общих точки с графиком, а при mє(-3;9) - три.
Ответ: (-3;9)
Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, площади которых равны соответственно 6 и 54. Найдите гипотенузу треугольника
SABD=AD•BD/2=6
AD=12/BD
SBCD=DC•BD/2=54
DC=108/BD
Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
BD=√AD⋅DC=√12BD⋅108BD=36BD
BD2=36
BD=6
SABC=AC•BD/2=6+54
AC=60•2/BD=20
Ответ: 20
Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника с неравными сторонами при пересечении образуют квадрат.
EHGF — четырехугольник, образованный при пересечении биссектрис углов прямоугольника ABCD. Это прямоугольник, т.к. биссектрисы, выходящие из прямых углов попарно параллельны и пересекаются под прямым углом.
Докажем, что EH=HG. Треугольник AHD-рвнобедренный, т.к. углы при основании равны 45 градусов. Тогда AH=HD.
Треугольник ABM равен треугольнику DPC, по стороне (AB=CD) и прилегающим двум углам (по 45°). Тогда АE=DG, значит EH=AH-AE=HD-DG=HG
Получили, что в прямоугольнике EHGF две смежные стороны равны, значит EHGF -квадрат.
Стороны ромба EFGH являются гипотенузами прямоугольных равнобедренных треугольников EAF, FDG, GCH и HBE, причем все эти треугольники имеют общие внутренние точки с ромбом EFGH. Сумма площадей четырехугольника ABCD и ромба EFGH равна 12. Найдите CH.
Если взять диагонали ромба как оси симметрии, то получаем, что стороны ромба симметричны относительно этих осей, а с учетом того, что треугольники построены прямоугольные и равнобедренные на равных сторонах, то треугольники равны и симметричны так же относительно этих осей. Тогда ABCD - прямоугольник.
Пусть сторона ромба EF=X , а острый угол ∠EFG=α. Тогда из треугольников:
EAF и GBF: AF=BD=EF/√2=X/√2
∠EFB=∠EFG-∠GFB=α-45°
∠GFA=∠EFG-∠EFA=α-45°
∠AFB=∠EFG-∠EFB-∠GFA=90°-α
Тогда по теореме косинусов в треугольнике ABF:
AB=√(AF2+BF2-2•AF•BF•cos∠AFB)=√(X2-X2sinα)
∠FEH=180°-α
∠AED=∠FEH-∠FEA-∠DEH=90°-α
Тогда по теореме косинусов в треугольнике AEC:
AD=√(AE2+DE2-2•AE•DE•cos∠AED)=√(X2-X2sinα)=AB
ABCD - квадрат.
SABCD+SEFGH=AB•AC+EF•FG•sin∠EFG=X2-X2sinα+X2sinα=12
EF=X=√12=GH
CH=GH/√2=√6
Ответ: √6
№ | Ваш ответ | Ответ и решение | Первичный балл |
---|---|---|---|
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения. |