Вариант 14

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6 см, гипотенуза равна 10 см. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник. Ответ дайте в см.

Координаты веĸтора $\vec a\;\left\{7\;;\;10\right\}\;\;\;\vec b\;\left\{20\;;\;y\right\}$ .

Сĸалярное произведение равно 20. Найдите y.

Во сĸольĸо раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в 3 раза.

В корзине лежат яблоки разных сортов: 20 красных, 35 жёлтых и 25 зелёных. С какой вероятностью случайно вынутое из корзины яблоко окажется красным?

В школьной библиотеке 120 учебников по русскому языку для 9-го класса. Из них 45 учебников 2016 г. издания, 15 учебников — 2015 г. издания, а остальные поровну — 2014 и 2013 гг. издания. Библиотекарь случайным образом выбирает учебник. Найдите вероятность того, что выбранная книга будет 2016 г. или 2014 г. издания.

Решите уравнение $7^{(x^2-9)}=1$. В ответе укажите бо́льший корень.

Найдите значение выражения $5^{\log_5\left(x^2-6x+1\right)}$ при х = —2.

На рисунке изображен график производной функции f(x).

Найдите количество точек, в которых угол наклона касательной к графику функции y=f(x) равен 45°.

Уравнение траектории тела, брошенного под углом к горизонту с некоторой высоты, описывается уравнением $y=h_0+xtg\alpha-\frac{gx^2}{2v_0^2cos^2\alpha}$, где h₀ — высота, с которой бросают тело, $\alpha$ — угол к горизонту, g = 9,8 м/c² — ускорение свободного падения, х, у — координаты тела в некоторый момент времени. Найдите, с какой высоты (в метрах) было брошено тело со скоростью 2 м/с, если $\alpha$ = 45°, х = 2 м, у = 3,1 м.

У катера прогулка длиной 15 км по течению реки занимает на 30 минут больше, чем прогулка длиной 4 км против течения. Найдите скорость катера (в км/ч), если известно, что она больше 10 км/ч, а скорость течения реки равна 2 км/ч.

На рисунĸе изображены граифики двух линейных фунĸций. Найдите ординату точĸи пересечения.

Найдите наибольшее значение функции $f(x)=sinx+\frac{sin2x}2$ на промежутке

Дано уравнение $\left|\cos x+1\right|=\cos2x+2$

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}2;\;-2\pi\right].$

В правильной треугольной пирамиде РАВС боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра РА отмечена точка М так, что МА:МР=9:16.

а) Докажите, что плоскости РВС и МВС перпендикулярны.

б) Найдите объем пирамиды МАВС.

Решите неравенство $\frac{2^{x+1}\sqrt{2^{x+1}-1}}{2^x-15}\leq\frac{\sqrt{2^{x+1}-1}}{2^x-8}$.

20‐го декабря Валерий взял кредит в банке на сумму 500 тысяч руб. сроком на пять месяцев. Условия возврата кредита таковы:

• 5-го числа каждого месяца долг увеличивается на целое число n процентов по сравнению с предыдущим месяцем;

• с 6‐го по 19‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

• 20‐го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии с таблицей:

Найдите наименьшее n, при котором сумма выплат сверх взятого кредита (выплаты по процентам) составит более 200 тыс. руб.

В треугольнике АВС ВА=8, ВС=7, ∠B=120°. Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны АС в точке М.

а) Докажите, что АМ=ВС.

б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах АВ и АС, перпендикулярного АВ и касающегося окружности ω.

Найдите все а, при каждом из которых уравнение $x^4-x^2+\frac{\left|ax\right|}{3\sqrt3}+a^3-a^2-2a=0$ имеет ровно три корня. Для каждого такого а укажите корни.