Processing math: 100%
Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Структура варианта
Часть 1Часть 2Ответы
Осталось:
3 часа 55 минут
Скачать .pdf

Вариант 16

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Плитка шоколада стоит 124 рубля. В понедельник в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две плитки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 680 рублей в понедельник?

2
2

На графике показан процесс нагревания некоторого прибора. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента включения прибора, на оси ординат — температура прибора в градусах Цельсия. Определите по рисунку, за сколько минут прибор нагреется от 20° С до 50° С.

3
3

В треугольнике АВС АВ = ВС. Внешний угол при вершине В равен 142°. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.

4
4

В волейбольной секции 26 человек, среди них два друга — Иван и Николай. На тренировке всех участников случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Иван и Николай окажутся в одной группе.

5
5

Найдите корень уравнения

3x7=2

6
6

Острый угол ромба равен 30°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 3,5. Найдите сторону ромба.

7
7

На рисунке 87 изображён график некоторой функции у = f(x). Функция F(x)=23x310x248x+19 — одна из первообразных функции f{x). Найдите площадь S закрашенной фигуры. В ответе укажите величину 3S.

8
8

Сосуд в форме цилиндра заполнен водой до отметки 36 см. Найдите, на какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд в форме цилиндра, радиус основания которого в 3 раза меньше радиуса основания первого цилиндра. Ответ дайте в сантиметрах.

9
9

Найдите значение выражения (1 - log714)(1 - log214).

10
10

Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле

где rпок — средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), rэкс — оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и К — число покупателей, оценивших магазин.

Найдите рейтинг интернет-магазина «Альфа», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 24, их средняя оценка равна 0,85, а оценка экспертов равна 0,1.

11
11

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют товарный и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 75 км/ч и 60 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 1000 м. Найдите длину товарного поезда, если время, за которое он прошёл мимо пассажирского поезда, равно 9 минутам. Ответ дайте в метрах.

12
12

Найдите точку минимума функции y=(x+17)ex12

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение (65)cos3x+(56)cos3x=2.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [4π; 9π/2).

Показать ответ

Решение:

а) (65)cos3x+(65)cos3x=2

Пусть (65)cos3x=a; a+1a=2; a22a+1=0;a=1.

(65)cos3x=1;cos3x=0;

x=π6+πn3;

б) n=12;x=25π6

Ответ:

а) π6+πn3,nZ;

б) 25π6

14

Косинус угла между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды равен —1/8, сторона основания равна 12.

а) Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и перпендикулярную скрещивающемуся с ней ребру.

б) Найдите объём этой пирамиды.

Показать ответ

Решение:

Рассмотрим пирамиду MABC, AB=AC=BC=12. Проведем ATMB, тогда CTMB (см. рисунок )

Докажем, это рассмотрев треугольники CTB и ATB. TB - общая сторона, CB=AB, TBA=TBC.

CTB=△ATB по двум сторонам и углу между ними., поэтому CT=AT и CTB=ATB=90. Значит, CAT - искомое сечение.

CAT равнобедренный, пусть CT=AT=x,CTA=α (угол между боковыми гранями)

По теореме косинусов AC2=x2+x22x2cosα; 122=2x2(1cosα);x=8

Рассмотрим ABM. В немAM=MB и sinMBA=TAAB=812=23. Найдем высоту треугольника ABM, MKAB. AK=KB=6

MKKB=tgMBA=25, MK=25×6=125

Найдем высоту пирамиды MH из CMK, в котором CK=AC32 как высота правильного треугольника ABC, H делит CK в отношении CH:HK=2:1.

CK=1232=63; HK=13CK=23

MH2=MK2HK2=(125)2(23)2=845. MH=845=2215.

SABC=AB234=363

VABCM=13SABC×MH=13×363×2215=72355

Ответ: 72355

15

Решите систему неравенств

{(x29)logx+8(2x)0,4821x+33x+1447x.

Показать ответ

Решим первое неравенство системы методом рационализации.

ОДЗ {x+8>0x+802x>0{x>8x7x<2x(8;7)(7;2)

(x3)(x+3)(x+81)(2x1)0(x3)(x+3)(x+7)(1x)0

См. Рисунок

Учитывая ОДЗ, x(8;7)[3;1]

Решим второе неравенство:

3x(48×7x1)3(48×7x1)0(3x3)(48×7x1)03x3=0;x=148×71=0;x=log748

Заметим, что 2log7481

x(;log748][1;+)

Ответ: (8;7)[3;log748]{1}

16

На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС лежат точки М, Р и R соответственно, причём отрезки BR, СМ и АР пересекаются в точке О.

а) Докажите, что AMMBBPPCCRRA=1.

б) Найдите длину стороны АВ, если ВС = 10, АС = 13, ВМ : ВР = 3 : 2, CR = 9.

Показать ответ

Решение:

Проведем из точек A и C перпендикуляры к прямой BR, тогда CKAL (см. рисунок )

ARL∼△CRK, значит ALCK=ARRC

SAOBSCOB=0,5OB×AL0,5OB×CK=ARRC; SCOBSAOB=RCAR

Аналогично доказывается, что SAOCSBOC=AMMB и SBOASCOA=BPPC. Перемножим пропорции:

SCOBSAOB×SBOASCOA×SAOCSBOC=CRRA×AMMB×BPPC=1

б) AC=13;CR=6,5;AR=136,5=6,5; CRAR=1; BMBP=32;BM=1,5BP;; 1×AM1,5BP×BPPC=1; AM=1,5PC

AB=BM+AM=1,5BP+1,5PC=1,5(BP+PC)=1,5BC=15

Ответ: 15

17

Цена производителя на товар Б составляет 40 рублей. Прежде чем попасть на прилавок магазина, товар проходит через несколько фирм-посредников, каждая из которых увеличивает текущую цену в 2 или 3 раза и осуществляют услуги по транспортировке и хранению товара. Магазин делает наценку 15%, после чего покупатель приобрёл товар за 828 рублей. Сколько посредников было между магазином и производителем?

Показать ответ

Решение:

Определим цену, по которой магазин закупил товар Б у посредника. Она равна 828:1,15=720 рублей. Значит, за счет посредников цена возросла в 72040=18 раз. Пусть k посредников увеличивали цену в 2 раза, m в 3 раза. Тогда 18=2k×3m, 2 и 3 - взаимно простые числа. Но 18=21×32, поэтому k=1,m=2. Общее число посредников равняется k+m=1+2=3.

Ответ: 3

18

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение a25xa=2252x5 имеет ровно 2 корня, хотя бы один из которых не менее 0,5.

Показать ответ

Решение:

Сделаем замену 25x=t,t>0. Нам нужно, чтобы уравнение ata=2t25 имело 2 корня, при этом t1=25x12512=15 00

a(t1)=10t25,t=1 - не является корнем

Рассмотрим функцию y=a(t)=10t25(t1) y(t)=t22t+105(t1)2

y(t)<0 при всех допустимых значениях t, значит y(t) убывает на (;1)(1;+). y(0)=2; y(15)=2,49;

Построим график (см. рисунок). По рисунку видно, что при a(2;2,49] уравнение имеет 2 корня, один из которых 00.

Ответ: [2,49;2)

19

В океанариуме каждой акуле дают по 2,5 кг рыбы, мурене — 0,2 кг, скату — 1,5 кг ежедневно. Известно, что в среднем у каждой акулы бывает ежедневно 260 посетителей, у каждой мурены — 21, у каждого ската — 150. Все эти животные есть в океанариуме.

а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в океанариуме им дают 6,5 кг рыбы?

б) Может ли ежедневно распределяться 18,4 кг рыбы, если известно, что за 1 день у этих животных было больше 2000 посещений?

в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений, если океанариум ежедневно распределяет между ними 7 кг рыбы?

Показать ответ

Решение:

Обозначим за a число акул, за с - число скатов, за m - число мурен в океанариуме. Тогда им ежедневно дают 2,5a+0,2m+1,5c кг рыбы и у них бывает в день 260a+21m+150c посетителей.

а) По условию 2,5a+0,2m+1,5c=6,5 {a,m,c}N

25a+2m+15c=65; 2m=5(135a3c). m. делится на 5 и, так как a1,c1, 135a3c5, 2m25;m12. Значит, m=5 или m=10.

m=5, тогда 25a+2×5+15c=65;5a+3c=11; a=1,c=2

Число посещений равно 260×1+21×5+150×2=665.

m=10, тогда 25a+2×10+15c=65;5a+3c=9;, a=1;3c=4,cN

б) Пусть 2,5a+0,2m+1,5c=18,4 или 25a+2m+15c=184. Число посетителей в день

P=260a+21m+150c=212(260×2a21+2m+150×2c21)==212(520a21+2m+100c7)<212(25a+2m+15c)=212×184=1932

Получили, что P<1932, значит не могло быть больше 2000 посещений.

в) По условию 2,5a+0,2m+1,5c=7, то есть 25a=702m15c; 25a53, то есть a=1 или a=2

1) a=1; 25+2m+15c=70; 2m+15c=45;15c=452m15;m15;

Число посетителей:

P=260a+21m+150c=710+m наибольшее при наибольшем m. P=710+15=725

2) a=2; 25×2+2m+15c=70; 2m+15c=20;15c=202m15; m2,5

P=260a+21m+150c=260×2+21m+10(202m)=720+m

P наибольшее при значении m наибольшем, то есть m=2, P=720+2=722

Наибольшее число посещений 725

Ответ: а) 665 б) не может в) 725

0 из 0
Ваш ответ Ответ и решение Первичный балл

Здесь появится результат первой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.

2 404 139
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?