Вариант 16
Математика Профильный уровень
Часть 1
Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.
Плитка шоколада стоит 124 рубля. В понедельник в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две плитки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 680 рублей в понедельник?
На графике показан процесс нагревания некоторого прибора. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента включения прибора, на оси ординат — температура прибора в градусах Цельсия. Определите по рисунку, за сколько минут прибор нагреется от 20° С до 50° С.
В треугольнике АВС АВ = ВС. Внешний угол при вершине В равен 142°. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
В волейбольной секции 26 человек, среди них два друга — Иван и Николай. На тренировке всех участников случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Иван и Николай окажутся в одной группе.
Острый угол ромба равен 30°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 3,5. Найдите сторону ромба.
На рисунке 87 изображён график некоторой функции у = f(x). Функция F(x)=−23x3−10x2−48x+19 — одна из первообразных функции f{x). Найдите площадь S закрашенной фигуры. В ответе укажите величину 3S.
Сосуд в форме цилиндра заполнен водой до отметки 36 см. Найдите, на какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд в форме цилиндра, радиус основания которого в 3 раза меньше радиуса основания первого цилиндра. Ответ дайте в сантиметрах.
Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле
где rпок — средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), rэкс — оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и К — число покупателей, оценивших магазин.
Найдите рейтинг интернет-магазина «Альфа», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 24, их средняя оценка равна 0,85, а оценка экспертов равна 0,1.
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют товарный и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 75 км/ч и 60 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 1000 м. Найдите длину товарного поезда, если время, за которое он прошёл мимо пассажирского поезда, равно 9 минутам. Ответ дайте в метрах.
Часть 2.
При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.
а) Решите уравнение (65)cos3x+(56)cos3x=2.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [4π; 9π/2).
Решение:
а) (65)cos3x+(65)−cos3x=2
Пусть (65)cos3x=a; a+1a=2; a2−2a+1=0;a=1.
(65)cos3x=1;cos3x=0;
x=π6+πn3;
б) n=12;x=25π6
Ответ:
а) π6+πn3,n∈Z;
б) 25π6
Косинус угла между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды равен —1/8, сторона основания равна 12.
а) Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и перпендикулярную скрещивающемуся с ней ребру.
б) Найдите объём этой пирамиды.
Решение:
Рассмотрим пирамиду MABC, AB=AC=BC=12. Проведем AT⊥MB, тогда CT⊥MB (см. рисунок )

Докажем, это рассмотрев треугольники CTB и ATB. TB - общая сторона, CB=AB, ∠TBA=∠TBC.
△CTB=△ATB по двум сторонам и углу между ними., поэтому CT=AT и ∠CTB=∠ATB=90∘. Значит, CAT - искомое сечение.
△CAT равнобедренный, пусть CT=AT=x,∠CTA=α (угол между боковыми гранями)
По теореме косинусов AC2=x2+x2−2x2cosα; 122=2x2(1−cosα);x=8
Рассмотрим △ABM. В немAM=MB и sin∠MBA=TAAB=812=23. Найдем высоту треугольника △ABM, MK⊥AB. AK=KB=6
MKKB=tg∠MBA=2√5, MK=2√5×6=12√5
Найдем высоту пирамиды MH из △CMK, в котором CK=AC√32 как высота правильного треугольника ABC, H делит CK в отношении CH:HK=2:1.
CK=12√32=6√3; HK=13CK=2√3
MH2=MK2−HK2=(12√5)2−(2√3)2=845. MH=√845=2√21√5.
SABC=AB2√34=36√3
VABCM=13SABC×MH=13×36√3×2√21√5=72√355
Ответ: 72√355
Решите систему неравенств
{(x2−9)logx+8(2−x)⩽0,48⋅21x+3⩾3x+144⋅7x.
Решим первое неравенство системы методом рационализации.
ОДЗ {x+8>0x+8≠02−x>0{x>−8x≠−7x<2x∈(−8;−7)∪(−7;2)
(x−3)(x+3)(x+8−1)(2−x−1)≤0(x−3)(x+3)(x+7)(1−x)≤0
См. Рисунок
Учитывая ОДЗ, x∈(−8;−7)∪[−3;1]
Решим второе неравенство:
3x(48×7x−1)−3(48×7x−1)≥0(3x−3)(48×7x−1)≥03x−3=0;x=148×7−1=0;x=−log748
Заметим, что −2≤−log748≤−1
x∈(−∞;−log748]∪[1;+∞)
Ответ: (−8;−7)∪[−3;−log748]∪{1}
На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС лежат точки М, Р и R соответственно, причём отрезки BR, СМ и АР пересекаются в точке О.
а) Докажите, что AMMB⋅BPPC⋅CRRA=1.
б) Найдите длину стороны АВ, если ВС = 10, АС = 13, ВМ : ВР = 3 : 2, CR = 9.
Решение:
Проведем из точек A и C перпендикуляры к прямой BR, тогда CK∥AL (см. рисунок )

△ARL∼△CRK, значит ALCK=ARRC
SAOBSCOB=0,5OB×AL0,5OB×CK=ARRC; SCOBSAOB=RCAR
Аналогично доказывается, что SAOCSBOC=AMMB и SBOASCOA=BPPC. Перемножим пропорции:
SCOBSAOB×SBOASCOA×SAOCSBOC=CRRA×AMMB×BPPC=1
б) AC=13;CR=6,5;AR=13−6,5=6,5; CRAR=1; BMBP=32;BM=1,5BP;; 1×AM1,5BP×BPPC=1; AM=1,5PC
AB=BM+AM=1,5BP+1,5PC=1,5(BP+PC)=1,5BC=15
Ответ: 15
Цена производителя на товар Б составляет 40 рублей. Прежде чем попасть на прилавок магазина, товар проходит через несколько фирм-посредников, каждая из которых увеличивает текущую цену в 2 или 3 раза и осуществляют услуги по транспортировке и хранению товара. Магазин делает наценку 15%, после чего покупатель приобрёл товар за 828 рублей. Сколько посредников было между магазином и производителем?
Решение:
Определим цену, по которой магазин закупил товар Б у посредника. Она равна 828:1,15=720 рублей. Значит, за счет посредников цена возросла в 72040=18 раз. Пусть k посредников увеличивали цену в 2 раза, m в 3 раза. Тогда 18=2k×3m, 2 и 3 - взаимно простые числа. Но 18=21×32, поэтому k=1,m=2. Общее число посредников равняется k+m=1+2=3.
Ответ: 3
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение a25x−a=2−25−2x5 имеет ровно 2 корня, хотя бы один из которых не менее 0,5.
Решение:
Сделаем замену 25−x=t,t>0. Нам нужно, чтобы уравнение at−a=2−t25 имело 2 корня, при этом t1=25−x1≤25−12=15 00
a(t−1)=10−t25,t=1 - не является корнем
Рассмотрим функцию y=a(t)=10−t25(t−1) y‘(t)=t2−2t+10−5(t−1)2
y‘(t)<0 при всех допустимых значениях t, значит y(t) убывает на (−∞;1)∪(1;+∞). y(0)=−2; y(15)=−2,49;
Построим график (см. рисунок). По рисунку видно, что при a∈(−2;−2,49] уравнение имеет 2 корня, один из которых 00.

Ответ: [−2,49;−2)
В океанариуме каждой акуле дают по 2,5 кг рыбы, мурене — 0,2 кг, скату — 1,5 кг ежедневно. Известно, что в среднем у каждой акулы бывает ежедневно 260 посетителей, у каждой мурены — 21, у каждого ската — 150. Все эти животные есть в океанариуме.
а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в океанариуме им дают 6,5 кг рыбы?
б) Может ли ежедневно распределяться 18,4 кг рыбы, если известно, что за 1 день у этих животных было больше 2000 посещений?
в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений, если океанариум ежедневно распределяет между ними 7 кг рыбы?
Решение:
Обозначим за a число акул, за с - число скатов, за m - число мурен в океанариуме. Тогда им ежедневно дают 2,5a+0,2m+1,5c кг рыбы и у них бывает в день 260a+21m+150c посетителей.
а) По условию 2,5a+0,2m+1,5c=6,5 {a,m,c}⊂N
25a+2m+15c=65; 2m=5(13−5a−3c). m. делится на 5 и, так как a≥1,c≥1, 13−5a−3c≤5, 2m≤25;m≤12. Значит, m=5 или m=10.
m=5, тогда 25a+2×5+15c=65;5a+3c=11; a=1,c=2
Число посещений равно 260×1+21×5+150×2=665.
m=10, тогда 25a+2×10+15c=65;5a+3c=9;, a=1;3c=4,c∉N
б) Пусть 2,5a+0,2m+1,5c=18,4 или 25a+2m+15c=184. Число посетителей в день
P=260a+21m+150c=212(260×2a21+2m+150×2c21)==212(520a21+2m+100c7)<212(25a+2m+15c)=212×184=1932
Получили, что P<1932, значит не могло быть больше 2000 посещений.
в) По условию 2,5a+0,2m+1,5c=7, то есть 25a=70−2m−15c; 25a≤53, то есть a=1 или a=2
1) a=1; 25+2m+15c=70; 2m+15c=45;15c=45−2m≥15;m≤15;
Число посетителей:
P=260a+21m+150c=710+m наибольшее при наибольшем m. P=710+15=725
2) a=2; 25×2+2m+15c=70; 2m+15c=20;15c=20−2m≥15; m≤2,5
P=260a+21m+150c=260×2+21m+10(20−2m)=720+m
P наибольшее при значении m наибольшем, то есть m=2, P=720+2=722
Наибольшее число посещений 725
Ответ: а) 665 б) не может в) 725
№ | Ваш ответ | Ответ и решение | Первичный балл |
---|---|---|---|
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения. |