Задание № 7192
Два игрока, Петя и Вася, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 12 камней, за один ход можно получить кучу из 13, 15 или 24 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 100. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 100 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 < S < 99.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при раз¬личной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.
Задание 1
а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающие ходы.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Вася может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Васи.
Задание 2
Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
— Петя не может выиграть за один ход;
— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вася.
Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 3
Укажите значение хотя бы одно значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
— у Васи есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
— у Васи нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Васи. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Васи (в виде рисунка или таблицы). На рисунке на рёбрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах — количество камней в позиции.
Содержание верного ответа
Задание 1.
а) Петя может выиграть, удвоив количество камней в куче, если S = 50, ... 99. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой не менее 100 камней.
б) Вася может выиграть первым ходом (как бы ни играл Петя), если исходно в куче будет S = 49 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 50, 52 или 98 камней. Во всех случаях Вася удваивает количество камней и выигрывает в один ход.
Задание 2.
Возможные значения S: 46, 48. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 49 камней. Эта позиция разобрана в п. 16). В ней игрок, который будет ходить (теперь это Вася), выиграть не может, а его противник (то есть Петя) следующим ходом выиграет.
Задание 3.
Возможные значения S: 45, 47.
Например, для S = 45 после первого хода Пети в куче будет 46, 48 или 90 камней. Если в куче станет 90 камней, Вася удвоит количество камней и выиграет первым ходом. Ситуация, когда в куче 46 или 48 камней, разобрана в п. 2. В этой ситуации игрок, который будет ходить (теперь это Вася), выигрывает своим вторым ходом.
В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии Васи для первого возможного значения. Для второго возможного значения дерево строится аналогично.
Заключительные позиции (в ни выигрывает Вася) подчеркнуты. На рисунке это же дерево изображено в графическом виде (оба способа допустимы).
Нашли ошибку в задании? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl + Enter.