Найдем производную и определим точки максимума на отрезке $\left[\frac\pi3;\frac{11\pi}{12}\right]$

$f'(x)=cos\left(x-\frac{13\pi}{12}\right)+sin\left(x-\frac{13\pi}{12}\right)$

$f'(x)=0$

$tg\left(x-\frac{13\pi}{12}\right)=-1$

$x-\frac{13\pi}{12}=\frac{3\pi}4+\pi n$

$x=\frac{11}6\pi+\pi n$ — на интервале $\left[\frac\pi3;\frac{11\pi}{12}\right]$ только один экстремум при n=-1: $x=\frac56\pi$.

При $x\frac56\pi$ — возрастает, значит $x=\frac56\pi$ — точка минимума.

Найдем наибольшее значения функции на границах интервала

$f(\frac{11}{12}\pi)=sin\left(\frac{11\pi}{12}-\frac{13\pi}{12}\right)-cos\left(\frac{11\pi}{12}-\frac{13\pi}{12}\right)=0,5-\frac{\sqrt3}2<0$

$f(\frac\pi3)=sin\left(\frac\pi3-\frac{13\pi}{12}\right)-cos\left(\frac\pi3-\frac{13\pi}{12}\right)=0$ — искомое наибольшее значение функции