Вариант 18

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—11 должно быть целое число или десятичная дробь.

Найдите угол BAC треугольника ABC, если известны координаты его вершин: A(3; 3), B(3; 9), C(6; 6). Ответ запишите в градусах.

Длина веĸтора $\vec b$ равна 13.

Координаты $\vec b\left\{5\;;\;y\right\}$ . Найдите $y,\;если\;y<{}.$

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины раннь 5, 7, 10. Найдите S поверхности параллелепипеда.

На столе лежат цветные ручки: синяя, красная, чёрная и зелёная. Петя случайно берёт со стола ручку. С какой вероятностью эта ручка окажется чёрной?

Аттестационный экзамен в автошколе состоит из двух этапов: теории и практики. Вероятность сдать теорию равна 0,8, а вероятность сдать практику равна 0,65. Найдите вероятность сдать аттестационный экзамен в автошколе.

Найдите наименьший корень уравнения $\sqrt{x^2-4x+4}=2$

Найдите значение выражения $(log_65)(log_54+log_59)$

Определите количество точек экстремума функции $y=3x^4-8x^3$

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле $r=\frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}$ , где a и b катеты прямоугольного треугольника. Чему равна длина гипотенузы c (в см), если радиус окружности, вписанной в этот прямоугольный треугольник, равен 1 см, а один из катетов равен 4 см?

Сельский житель Андрей Иванович может убрать свой урожай картофеля за 3 часа, если будет работать один, а если ему будут помогать двое его сыновей, то они вместе смогут убрать этот урожай за 2 часа. За какое время (в часах) уберут весь урожай два сына Андрея Ивановича и соседский мальчишка, если производительность всех трёх ребят одинакова?

На рисунĸе изображены графики функций $f\left(x\right)=\frac ax\;\;и\;\;g(x)=kx+b$ , которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату B.

Часть 2.

При выполнении заданий 12—18 требуется записать полное решение и ответ.

Найдите минимум функции $y=\frac{x^2+3}{\sqrt x}$

Показать ответ

Область определения функции: $x>0$

Найдем производную функции

$y'=\left(\frac{x^2+3}{\sqrt x}\right)^,=\frac{2x\cdot\sqrt x-\frac1{2\sqrt x}\cdot(x^2+3)}x=\frac{3(x^2-1)}{x\sqrt x}$

x=1 - единственный экстремум, удовлетворяющий области определения, при переходе через который производная меняет свой знак с отрицательного на положительный.

Дано уравнение $2\cos x-3\sqrt{2\cos x}+2=0$ .

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[-\frac{7\pi}2;\;-2\pi\right]$ .

Показать ответ

а) $\pm\frac\pi3+2\pi k;$ б) $-\frac{7\pi}3$

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре SC отмечена точка М так, что SM:MС=7:18.

а) Докажите, что плоскости SBC и АВМ перпендикулярны.

б) Найдите объем меньшей части пирамиды SABC, на которые ее разбивает плоскость АВМ.

Показать ответ

$\frac{21\sqrt{39}}{25}$

Решите неравенство $\frac{x^2-x+1}{x-1}+\frac{x^2-3x-1}{x-3}\leq2x+2$ .

Показать ответ

$\left(-\infty;\;1\right)\cup\left\{2\right\}\cup\left(3;\;+\infty\right)$

1 августа 2016 года Валерий открыл в банке счёт «Пополняй» на четыре года под 10% годовых, вложив 100 тыс. рублей.

1 августа 2017 и 1 августа 2019 года он планирует докладывать на счёт по n тыс. рублей. Найдите наименьшее целое n, при котором к 1 августа 2020 года на счету у Валерия окажется не менее 200 тыс. рублей.

Показать ответ

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и ВР.

а) Докажите, что углы АКР и АВР равны.

б) Найдите длину отрезка РК, если известно, что АВ=5, ВС=6, СА=4.

Показать ответ

$\frac{45}{16}$

Найдите все а, при каждом из которых уравнение $\frac{2a^2-\left(x+3\right)a-x^2+3x}{x^2-9}=0$ имеет ровно один корень.

Показать ответ

-3; 0; 1

0 из 0

№	Ваш ответ	Ответ и решение	Первичный балл
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.